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一、选择题
→→→
1．已知数列{an}为等差数列,满足OA＝a3OB＋a2 013OC,其中A,B,C在一条直线上,O为直线AB外一点,记数列{an}的前n项和为Sn,则S2 015的值为( ) 2 015A.2 C．2 016 答案：A
a3＋a2 0132 015
解析：依题意有a3＋a2 013＝1,故S2 015＝·2 015＝
22.故选A.
2．(2019·河北唐山二模)设{an}是任意等差数列,它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是( ) A．2X＋Z＝3Y C．2X＋3Z＝7Y 答案：D
解析：设等差数列{an}的前n项和为Sn,Sn＝An2＋Bn,则X＝An2＋Bn,Y＝4An2＋2Bn,Z＝16An2＋4Bn,
于是8X＋Z－6Y＝8(An2＋Bn)＋16An2＋4Bn－6(4An2＋2Bn)＝0,所以8X＋Z＝6Y,因此D正确．经过代入验证可得2X＋Z≠3Y,4X＋Z≠4Y,2X＋3Z≠7Y,故选D.
?1?2
3．若数列{an}满足－a＝0,则称{an}为“梦想数列”,已知正项数列?b?为
an＋1n?n?
B．2 015 D．2 013
B．4X＋Z＝4Y D．8X＋Z＝6Y
1
“梦想数列”,且b1＋b2＋b3＝1,则b6＋b7＋b8＝( ) A．4 C．32 答案：C
?1?111
??解析：依题意有an＋1＝2an,故{an}是公比为2的等比数列,故b是公比为2的等比?n?
B．16 D．64
数列,所以bn是公比为2的等比数列,因此b6＋b7＋b8＝(b1＋b2＋b3)·q5＝32,故选
C.
22
4．已知正项数列{an}中,a1＝1,a2＝2,2a2n＝an＋1＋an－1(n≥2),则a6＝( )
A．16 C．22 答案：D
B．8 D．4
2222222解析：∵2an＝a2n＋1＋an－1(n≥2),∴an＋1－an＝an－an－1(n≥2),又a1＝1,a2＝2,∴a1＝2221,a22＝4,a2－a1＝3,∴数列{an}是以1为首项,3为公差的等差数列,由等差数列的通2项公式可得a2n＝1＋3(n－1)＝3n－2,∴a6＝16,∵an>0,∴a6＝4,故选D.
1??5．若数列{an}满足(2n＋3)an＋1－(2n＋5)an＝(2n＋3)·(2n＋5)lg?1＋n?,且a1＝5,则
??
??an??
数列?2n＋3?的第
????
100项为( )
B．3 D．2＋lg 99
A．2 C．1＋lg 99 答案：B
an＋11?an?
1＋??解析：由(2n＋3)an＋1－(2n＋5)an＝(2n＋3)(2n＋5)·lgn?可得2n＋5－2n＋3＝?1?1?an??
lg?1＋n?,记bn＝,有bn＋1－bn＝lg?1＋n?,由累加法得bn＝lg n＋1,数列????2n＋3?an???的第100项为lg 100＋1＝3.故选B. 2n＋3??
?1??n?6．(2019·湖北襄阳联考)已知函数f?x＋2?为奇函数,g(x)＝f(x)＋1,若an＝g?2 019?,
????则数列{an}的前2 018项和为( ) A．2 017 C．2 019 答案：B
?1?解析：∵函数f?x＋2?为奇函数,∴其图象关于原点对称,∴函数f(x)的图象关于点
???1??1?
?2，0?对称,∴函数g(x)＝f(x)＋1的图象关于点?2，1?对称,∴g(x)＋g(1－x)＝2,∵an????
B．2 018 D．2 020
?n??1??2??3??2017?＝g?2019?,∴数列的前2018项之和为g?2019?＋g?2019?＋g?2019?＋…＋g?2019????????????2018?＋g?2019?＝2018.故选B. ??
an＋1an7．若数列{an}满足－＝1,且a1＝5,则数列{an}的前100项中,能被5整
2n＋52n＋3除的项数为( ) A．42 C．30 答案：B
an＋1anana1
解析：数列{an}满足－＝1,即－＝1,又＝1,∴
2n＋52n＋32?n＋1?＋32n＋32×1＋3?an?an
?是以1为首项,1为公差的等差数列,∴数列?＝n,∴an＝2n2＋3n,列表如?2n＋3?2n＋3下：
项 个位数 1 5 2 4 3 7 4 4 5 5 6 0 7 9 8 2 9 9 10 0 an＋1
B．40 D．20
∴每10项中有4项能被5整除,∴数列{an}的前100项中,能被5整除的项数为40,故选B.
8．(2019·太原模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn＋3)(n∈N*)在函数y＝3×2x的图象上,等比数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*),其前n项和为Tn,则下列结论正确的是( ) A．Sn＝2Tn C．Tn>an 答案：D
解析：.因为点(n,Sn＋3)(n∈N*)在函数y＝3×2x的图象上,所以Sn＝3·2n－3,所以an＝3·2n－1,所以bn＋bn＋1＝3·2n－1,因为数列{bn}为等比数列,设公比为q,则b1＋b1q＝3,b2＋b2q＝6,解得b1＝1,q＝2,所以bn＝2n－1,Tn＝2n－1,所以Tn B．Tn＝2bn＋1 D．Tn 9．(2019·黑龙江大庆一中模拟)已知函数f(x)＝x2＋ax的图象在点A(0,f(0))处的切线l与直线2x－y＋2＝0325A.462 119C．256 答案：A 解析：因为f(x)＝x2＋ax,所以f′(x)＝2x＋a,又函数f(x)＝x2＋ax的图象在点A(0,f(0))处的切线l与直线2x－y＋2＝0平行,所以f′(0)＝a＝2,所以f(x)＝x2＋2x,111?1－1??, 所以＝2＝?f?n?n＋2n2?nn＋2? 1??11??11?1?? 所以S20＝2??1－3?＋?2－4?＋?3－5?＋…＋ ???????325 462.故选A. 10．已知正项数列{an}的前n项和为Sn,当n≥2时,(an－Sn－1)2＝SnSn－1,且a1＝1,an＋1 设bn＝log26,则bn＝( ) A．2n－3 C．n－3 答案：A 解析：当n≥2时,(an－Sn－1)2＝SnSn－1,即(Sn－2Sn－1)2＝Sn·Sn－1,即(Sn－Sn－1)(Sn－4Sn－1)＝0, ∵正项数列{an}的前n项和为Sn,∴Sn≠Sn－1, ∴Sn＝4Sn－1,∴数列{Sn}是等比数列,首项为1,公比为4,∴Sn＝4n－1.∴当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝4n－1－4n－2＝3×4n－2, ??1，n＝1，∴an＝? n2－??3×4，n≥2， B．2n－4 D．n－4 ??1?? 平行,若数列?f?n??的前 ???? n项和为Sn,则S20的值为( ) 19 B．20 2010D．2011 1??1?111??1 ?20－22??＝×?1＋2－21－22?＝???2??
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