中考数学压轴题专题平行四边形的经典综合题及答案

中考数学压轴题专题平行四边形的经典综合题及答案

一、平行四边形

1．如图1，正方形ABCD的一边AB在直尺一边所在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E．

（1）如图1，线段AB与OE之间的数量关系为 ．（请直接填结论）

（2）保证点A始终在直线MN上，正方形ABCD绕点A旋转θ（0＜θ＜90°），过点 B作BF⊥MN于点F．

①如图2，当点O、B两点均在直线MN右侧时，试猜想线段AF、BF与OE之间存在怎样的数量关系？请说明理由．

②如图3，当点O、B两点分别在直线MN两侧时，此时①中结论是否依然成立呢？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．

③当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时，线段AF、BF与OE之间的数量关系为 ．（请直接填结论）

【答案】（1）AB=2OE；（2）①AF+BF=2OE,证明见解析;②AF﹣BF=2OE 证明见解析;③BF﹣AF=2OE， 【解析】

试题分析：（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论； （2）①过点B作BH⊥OE于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证； ②过点B作BH⊥OE交OE的延长线于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证； ③同②的方法可证．

试题解析：（1）∵AC，BD是正方形的对角线， ∴OA=OC=OB，∠BAD=∠ABC=90°， ∵OE⊥AB，

1AB， 2∴AB=2OE，

∴OE=

（2）①AF+BF=2OE

证明：如图2，过点B作BH⊥OE于点H

∴∠BHE=∠BHO=90° ∵OE⊥MN，BF⊥MN ∴∠BFE=∠OEF=90° ∴四边形EFBH为矩形 ∴BF=EH，EF=BH ∵四边形ABCD为正方形 ∴OA=OB，∠AOB=90°

∴∠AOE+∠HOB=∠OBH+∠HOB=90° ∴∠AOE=∠OBH ∴△AEO≌△OHB（AAS） ∴AE=OH，OE=BH

∴AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE． ②AF﹣BF=2OE

证明：如图3，延长OE，过点B作BH⊥OE于点H

∴∠EHB=90° ∵OE⊥MN，BF⊥MN

∴∠AEO=∠HEF=∠BFE=90° ∴四边形HBFE为矩形 ∴BF=HE，EF=BH ∵四边形ABCD是正方形 ∴OA=OB，∠AOB=90° ∴∠AOE+∠BOH=∠OBH+∠BOH ∴∠AOE=∠OBH ∴△AOE≌△OBH（AAS） ∴AE=OH，OE=BH， ∴AF﹣BF

=AE+EF﹣HE=OH﹣HE+OE=OE+OE=2OE ③BF﹣AF=2OE，

如图4，作OG⊥BF于G，则四边形EFGO是矩形，

∴EF=GO，GF=EO，∠GOE=90°， ∴∠AOE+∠AOG=90°．

在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°， ∴∠AOG+∠BOG=90°， ∴∠AOE=∠BOG． ∵OG⊥BF，OE⊥AE， ∴∠AEO=∠BGO=90°． ∴△AOE≌△BOG（AAS）， ∴OE=OG，AE=BG，

∵AE﹣EF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF，

∴BF﹣AF=BG+GF﹣（AE﹣EF）=AE+OE﹣AE+EF=OE+OE=2OE， ∴BF﹣AF=2OE．

2．已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．

（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；

（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）存在，理由见解析; （3）不成立．理由如下见解析. 【解析】

试题分析：（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，则可求得∠BMC=90°；

（2）由∠BMC=90°，易证得△ABM∽△DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比

22

例，即可得方程：x﹣bx+a=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，即可确定方程有

两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；

22

（3）由（2），当b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x﹣bx+a=0的根的情况，即可求得答

案．

试题解析：（1）∵b=2a，点M是AD的中点， ∴AB=AM=MD=DC=a，

又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°， ∴∠AMB=∠DMC=45°， ∴∠BMC=90°． （2）存在， 理由：若∠BMC=90°， 则∠AMB+∠DMC=90°， 又∵∠AMB+∠ABM=90°， ∴∠ABM=∠DMC， 又∵∠A=∠D=90°， ∴△ABM∽△DMC， ∴

AMAB?， CDDMxa?， ab?x22

整理得：x﹣bx+a=0， ∵b＞2a，a＞0，b＞0， ∴△=b2﹣4a2＞0，

设AM=x，则

∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意， ∴当b＞2a时，存在∠BMC=90°， （3）不成立． 理由：若∠BMC=90°，

22

由（2）可知x﹣bx+a=0，

∵b＜2a，a＞0，b＞0， ∴△=b2﹣4a2＜0， ∴方程没有实数根，

∴当b＜2a时，不存在∠BMC=90°，即（2）中的结论不成立． 考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质

3．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到到B′的位置，AB′与CD交于点E.

（1）求证：△AED≌△CEB′

（2）若AB = 8，DE = 3，点P为线段AC上任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥BC于H.求PG +

PH的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】

（1）由折叠的性质知，

得到（2）由

； ，可得

中，利用勾股定理即可求得

质，可得【详解】 （1） 又 （2）

， ，

，

四边形

，， ；

， 为矩形，

，

，易证得四边形

，又由的长，再过点作

，即可求得

的长，然后在

，

，

，则由

于，由角平分线的性

是矩形，继而可求得答案.