【四川专用(理)】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版题库】4.6 正弦定理和余弦定理

4.6 正弦定理和余弦定理

一、选择题

1．在△ABC中，C＝60°，AB＝3，BC＝2，那么A等于( )． A．135° B．105° C．45° D．75°

232

解析 由正弦定理知＝，即＝，所以sin A＝，又

sin Asin Csin Asin 60°2由题知，BC＜AB，∴A＝45°. 答案 C

2．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为( )．

A．60° B．90° C．120° D．150° 解析 由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab， ∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcos C， 1

∴cos C＝－，∴C＝120°.

2答案 C

3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝λ，b＝3λ(λ>0)，

BCABA＝45°，则满足此条件的三角形个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．无数个 解析：直接根据正弦定理可得

asin A＝

bsin B，可得sin B＝

bsin A＝a3λsin 45°6

＝>1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0.

λ2答案：A

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos A＝bsin B，则sin Acos A＋cos2B等于( )．

11

A．－ B. C．－1 D．1

22

解析 根据正弦定理，由acos A＝bsin B，得sin Acos A＝sin2B，∴sin Acos

A＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.

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答案 D

5. 在?ABC中，角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，若a2?b2?2c2，则cosC的最小值为（ ） A. 3211 B. C. D. ? 2222a2?b2?c22c2?c21?2?，故选C. 解析 cosC?2ab2a?b2答案 C

6．在△ABC中，sin2 A≤sin2 B＋sin2 C－sin Bsin C，则A的取值范围是( )． π?π???π???π?

A.?0，? B.?，π? C.?0，? D.?，π?

6?3???6???3?解析 由已知及正弦定理有a2≤b2＋c2－bc，而由余弦定理可知a2＝b2＋c2－1

2bccos A，于是可得b2＋c2－2bccos A≤b2＋c2－bc，可得cos A≥，注意到在2π??

△ABC中，0＜A＜π，故A∈?0，?.

3??答案 C

7．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )．

42

A. B．8－43 C．1 D. 33

22

?a＋b－c＝4

解析 依题意得?2

22

?a＋b－c＝2abcos 60°＝ab

4

，两式相减得ab＝，选A.

3

答案 A 二、填空题

8．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则

AD的长度等于________．

解析 在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝23，∴cos C＝

31

，∴sin C＝；在△22

ADC中，由正弦定理得，

ADsin C＝ACsin∠ADC， ∴AD＝

21

×＝2.

sin 45°2

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答案 2

9. 在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且3a＝2csin A，角C＝________. 解析：根据正弦定理，由3a＝2csin A，得

asin A＝

csin C，

，

asin A＝

c32

3π

∴sin C＝，而角C是锐角．∴角C＝. 23π

答案：

3

10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为______．

答案 6∶5∶4

11．若AB＝2，AC＝2BC，则S△ABC的最大值________．

解析 (数形结合法)因为AB＝2(定长)，可以令AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设C(x，y)，由AC＝2BC， 得 x＋

2

＋y2＝2 x－

2

＋y2，化简得(x－3)2＋y2＝8，

即C在以(3,0)为圆心，22为半径的圆上运动， 1

所以S△ABC＝·|AB|·|yC|＝|yC|≤22，故答案为22.

2答案 22

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