新课程2021高考数学一轮复习第三章第6讲正弦定理和余弦定理课时作业含解析20210119296

第6讲 正弦定理和余弦定理

组 基础关

412

1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，

513则b等于( )

562156

A．2 B. C. D.

131339答案 D

41235

解析 因为A∈(0，π)，B∈(0，π)，cosA＝，cosC＝.所以sinA＝，sinC＝，5135133124556asinB所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.由正弦定理，得b＝51351365sinA56

1×

6556＝＝.

339

5

2．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，C＝60°，a＝4b，c＝则b＝( )

A．1 C．3 答案 A

解析 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC.又因为c＝13＝16b2＋b2－2×4b×b×cos60°，解得b＝1.

3．在△ABC中，如果＝＝，那么△ABC是( )

tanAtanBtanCA．直角三角形

B．等边三角形

13，a＝4b，C＝60°，所以

B．2 D.13

13，

abcC．等腰直角三角形 答案 B

D．钝角三角形

解析 由正弦定理及＝＝，得＝＝，整理，得cosA＝cosBtanAtanBtanCtanAtanBtanC＝cosC，因为A，B，C为三角形的内角，所以A＝B＝C，所以△ABC是等边三角形．

4．(2019·安徽省江南十校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝2

7，c＝3，B＝2C，则cos2C的值为( ) 7547

A. B. C. D. 3994答案 B

解析 由正弦定理，得＝＝csinC3

abcsinAsinBsinCbsinB27

2

.又因为B＝2C，所以

7sin2C＝＝2cosC，故3sinC775

2cosC＝，所以cos2C＝2cosC－1＝2×－1＝. 399

5．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝83239263A. B. C. 8133答案 B

13解析 依题意得，bcsinA＝c＝

24

3，则c＝4.由余弦定理得a＝3，则＝( )

sinCD．27

cb2＋c2－2bccosA＝

239c239

13，因此＝＝.由正弦定理得＝，故选B.

sinAsin60°3sinC3

13

6．(2020·许昌摸底)若△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin(Ca1

－A)＝sinB，且b＝4，则c2－a2＝( )

2

A．10 C．7

B．8 D．4

答案 B

11

解析 因为A＋B＋C＝π，所以sin(C－A)＝sinB＝sin(A＋C)，即2sinCcosA－

222cosCsinA＝sinAcosC＋cosAsinC，即sinCcosA＝3sinAcosC.由正弦定理和余弦定理，得

c·

b2＋c2－a2

2bc＝3a·

a2＋b2－c2

2ab，化简得c2－a2＝

b216

2＝2

＝8.故选B.

3π

7．(2019·泸州模拟)在△ABC中，角B为，BC边上的高恰为BC边长的一半，则cosA4＝( )

2A.

5 B.

25 C. D. 5335

5

答案 A

解析 设BC边上的高为h，则BC＝2h，AB＝－2AB·BCcosB＝2h2＋4h2－2·

2h，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2

?2???＝10h2，故AC＝10h.所以cosA＝

2h·2h·?－?

?2?

2h2

AB2＋AC2－BC2

2AB·AC＝2h2·

2＋10h2－

2h·10h2＝

5

5. 8．(2019·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC外接圆的半径为3，则a＝________.

答案 3

解析 由题意，得

a2

bcb－－＝cbc3，

a2－c2－b2

bc＝3，根据余弦定理，得cosA＝

b2＋c2－a2

2bc＝－32

.所

1a以sinA＝，又因为△ABC外接圆的半径为3，所以根据正弦定理得＝6，所以a＝3.

2sinA9．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，Bπ

＝，则△ABC的面积为________． 3