16世纪最为壮观的数学成就要数意大利的数学家们关于三、四次方程解法的研究。伯伦纳大学的数学家们首先攻克了这一难题。大约在1515年，该大学的数学教授费罗用代数方法求出了某些三次方程的解。他的工作据说是以更早的阿拉伯资料为基础的。他并没有公开发表他的成果，而是把这个秘密透露给他的学生菲奥。（ 16世纪最为壮观的数学成就要数意大利的数学家们关于什么的研究？那所大学的数学家们首先攻克了这一难题？大约在1515年，该大学的数学教授费罗用什么方法求出了三次方程的解？他的工作据说是以更早的阿拉伯资料为基础的。他是否公开发表他的成果？）（87）
威尼斯数学教授泰塔格利亚是一位以研究三次方程的解法而闻名的数学家。泰塔格利亚据说曾慕名向费罗讨教过三次方程的解法，但遭到了拒绝，因此，他发愤自己来攻克这一难题，终于在1535年宣布掌握了一些三次方程的解法。然而费罗的学生菲奥认为此项声明纯属欺骗，他向泰塔格利亚提出了挑战，要求来一次解三次方程的公开比赛。竞赛安排了两种类型的三次方程，菲奥只能解出其中一种，而泰塔格利亚却轻松地大获全胜。（由泰塔格利亚向费罗讨教遭拒到成为本领域的权威的变化过程。你想说什么？）（88）
泰塔格利亚轻松获得菲奥的挑战赛的胜利后，名望大增，并取得了韦罗纳的数学教席。继续研究更一般的问题，1541年他掌握了处理两种类型的方程的一般解法。但他却没有公开发表这些成果。（泰塔格利亚为什么没有公开发表其研究成果？）（88）
与泰塔格利亚同时期的天才代数学家卡当也用了相当长的时间研究这个问题，但没有成果。（没有成功说明了什么问题？）卡当是米兰的一名医生，精通数学，又嗜赌如命。据说有一次他与别人打赌，预言自己将于某时会死去。到了这一天，他为了赢得这场豪赌，居然以自杀的方式，结束了自己的一生。卡当找到泰塔格利亚，请求他教给自己解三次方程的方法，卡丹在做出保守秘密的庄严信誓后，从泰塔格利亚那里得到了一份渴望已久的解法手稿。然后卡当并没有遵守自己的诺言，1545年，他在德国纽伦堡出版了一部关于代数学的拉丁文巨著《大法》，书中详细介绍了泰塔格利亚教给他的方法。即后人称为“卡当公式”。（卡当的身份为了得到泰塔格利亚的成果不择手段说明了什么？卡当公式是谁发现的？）（88）
从道义上来讲，卡丹的行为是不道德的，但如果每一个科学家都像费罗、泰塔格利亚一样，将自己的成果秘不示人，那么，科学发展到今天会是什么样子就很难预料了。（）（89）
在三次方程被解决后不久，一般四次方程的代数解法也被发现了。1540年，意大利数学家达科伊向卡当提出了一个可以导致四次方程求解的问题，这个问题最终由卡当的学生斐拉里解决，卡当在《大法》一书中也详细地介绍了这个被称为“斐拉里方法”的解法。（）（89）
5.2.3韦达与符号代数
数学是思维的体操，同时，又是符号的游戏。历史的经验表明，采用合理的符号，能使数学学科得到迅速发展，相反的，没有一套合理的符号，其进展就会十分缓慢。众所周知，印度人发明的0，1，2，……，9这十个数码及其十进位值制记数法，由于简洁实用，受到阿拉伯人的青睐，并经阿拉伯人之手传入欧洲，进而成为当今科学世界的通用语言，对数学的迅速发展所起的作用是无法估量的。（）（90）
而在13—14世纪的欧洲，由于采用的是繁琐冗长的罗马记数法，以至于当时最杰出的数学工作者，也把当今小学生就已十分熟练的乘除运算看作是人世间最麻烦的事情。欧洲人至今仍用“掉到乘除里了”这样一句习语来形容某人陷入了困境，这是一个极为典型的例证。虽然我们无法对每一个数学符号的产生做系统的介绍，但符号对数学乃至整个科学发展的重要促进作用却是不容置疑的。（欧洲人至今仍用“掉到乘除里了”这样一句习语来形容某人陷入了困境？）（90）
用字母表示数，尽管在今天已是初中代数的一个最基本的内容。但在数学发展史上却是一件划时代的大事，它给数学思维插上了翅膀，使得原来在算术中许多需要极高技巧的算法变成了简单的机械性的操作，也为数学研究开拓了壮观的空间。因此，从某种意义上来说，用字母表示数标志着代数从算术脱胎而出，成为一门独立的学科。（用字母表示数在数学发展史上是一件划时代的大事？用字母表示数标志着代数从什么脱胎而出，成为一门独立的学科？）（90）
代数学的研究历史与数学的历史一样长，早在古巴比伦、埃及、印度和中国的早期数学知识中就积累了大量的代数内容。（代数学的研究历史与数学的历史一样长？）（90）
与古希腊其他的数学家相比较，丢番图对于数学的贡献主要是在代数方面，而他最杰出的功绩之一就是在代数中采用了未知数以及一整套符号。在他的符号系统中，没有加法、乘法和除法的运算记号，加法是用并列来表示的，而乘法和除法则通过累加和累减去进行。丢番图总是只使用一个未知数，对于其它的未知数他就想方设法将它们用这个未知数表示出来。（丢番图对于数学的贡献主要是在哪些方面？丢番图最杰出的功绩之一就是在代数中采用了什么？丢番图的符号系统中，有加法、乘法和除法的运算记号？丢番图如何进行加法、乘法和除法运算？）（90）
丢番图以后一直到17世纪，尽管许多数学家在引入代数符号方面做出了不少贡献，但总体上说，他们的符号基本上仍然是标准文字的缩写，还只是丢番图工作的延续。（符号基本上仍然是标准文字的缩写。）
在符号体系上使代数学发生最大变革的是法国数学家韦达。1580年他成为亨利亲王的枢密顾问官，由于对数学始终不懈的浓厚兴趣，使得他把绝大部分闲暇贡献给了数学。韦达一生写了许多关于三角学、代数学和几何学的著作，其中主要有：《三角学的数学基础》、《分析方法引论》、《几何补编》、《有效的数值解法》和《论方程的整理以修正》。这些著作中所包含的杰出的数学成就表明，他是这个时期最伟大的数学家之一。（在符号体系上使代数学发生最大变革的是法国数学家谁？）（91）
在《三角学的数学基础》一书中，韦达系统介绍了如何利用六种三角函数解平面和球面三角形，首次给出了正切定律、正弦差公式及钝角球面三角形的余弦定理等。（谁首次给出了正切定律、正弦差公式及钝角球面三角形的余弦定理？）（91）
在《有效的数值解法》一书中，韦达给出了一种求任意次幂代数方程近似根的方法，这是在意大利数学家们给出三、四次方程解法后高次方程研究中的一个新的突破。韦达是数学史上第一个用解析式计算π的值。（在《有效的数值解法》一书中，韦达给出了一种求任意次幂代数方程近似根、准确根的方法？谁是数学史上第一个用解析式计算π的值？）（91）
韦达在符号代数方面的贡献最为突出。当时数学研究的中心内容是探究各种代数方程的解法。但随着研究的深入，各种特殊形式的代数方程也随之迅速的增长，
对每一种方程都需要一个特殊的解法，这无疑要耗去数学家们巨大的精力。韦达设想寻找出一种求解各种类型代数方程的通用的方法。为此，他认真研究了泰塔格利亚、卡当、斯蒂文、邦别利和丢番图等人的著作，从这些名家特别是丢番图那里获得了灵感，那就是要实现自己的设想，首先要使方程具有普遍的形式，而其中关键的一步就是使用字母来表示数，因此在他的名著《分析方法引论》一书中，他第一个有意识地、系统地使用了字母。（什么原因使韦达去寻找出一种求解各种类型代数方程的通用的方法？“要实现自己的设想，首先要使方程具有普遍的形式，而其中关键的一步就是使用字母来表示数”韦达的这一灵感从何来的？）（92）
韦达的《分析方法引论》被公认是一部最早的符号代数的著作。在这部著作中，韦达不仅用字母表示未知量和未知量的乘幂，而且还用来表示一般的系数。通常他用辅音字母表示已知量，用元音字母表示未知量，用拉丁语表示各次方幂。使用了“+”与“-”分别表示加法与减法，但没有一个确定的符号来表示相乘，也没有一个确定的符号来表示相等。这些通常都用文字来说明。（韦达用字母表示未知量和未知量的乘幂吗？用字母表示一般的系数？韦达用什么表示“相乘”、“相等”？）（92）
韦达用统一的符号表示已知量、未知量及其运算，取代了以往惯用的词的缩写方法，在使得代数学形成国际通用的独立的语言方面发挥了巨大的作用。（谁用统一的符号表示已知量、未知量及其运算，取代了以往惯用的词的缩写方法，在使得代数学形成国际通用的独立的语言方面发挥了巨大的作用？）（93）
由于采用了先进的代数符号系统，很快地，韦达在当时代数研究的中心问题——方程论方面取得了杰出的成就。在《分析方法引论》中，他改进了意大利数学家泰塔格利亚、卡当和斐拉里等人关于三、四次方程的解法，利用变换消去方程的次高项，将二次、三次和四次方程的解都用一般表达式给出，这就是所谓的公式解。韦达所有的解法中都舍弃了负根。（）（93）
韦达把他的符号化代数称为“类的算术”，以区别于“数的算术”，并明确指出：类的算术是施行于事物的类或形式的运算，而数的算术仅仅与具体的数字有关，从而，类的算术即代数成为研究一般类型的数学形式和方法的学问。（什么是“类的算术” 、 “数的算术” ？）（93）
韦达关于代数符号体系的伟大设想与实践，对于代数学的发展无疑是一座重要的里程碑，他使得代数学的面貌发生了根本的变化。然而，当时大多数数学家并没有马上体会到符号体系对代数发展的巨大作用。（当时马上得到大家的认可？）（94）
解析几何的创始人、近代著名的法国哲学家笛卡儿对韦达使用字母的方法作了重要的改进，他用排在英文字母表前面的字母如a，b，c等表示已知量，用表末的字母如x，y，z等表示未知量，这在现在已成为习惯用法。由他提出和使用的许多符号同现今的写法基本是一致的。（笛卡儿是用什么字母表示已知量和未知量？）（94）
由于韦达等人有意识地引入了代数符号，使得代数成为研究对象更为广泛的独立的数学分支，符号代数由此而生，伟大无愧于“符号代数之父”的称号。（）（94）
5.2.4对数的发明
对数的发明是计算技术的一次重大的进步。16世纪初，欧洲人的商业活动和科学探索对计算技术提出了更高的要求。特别是以精确测量为基础的天文学的兴起，使得人们遇到了繁杂的数值计算。人们由衷地希望能简化计算，比如说把乘除运算
归结为简单的加减运算等。（）（94）
德国数学家施蒂费尔在其著作《整数算术》讨论了几何级数与其指数之间的关系，他甚至还把两个数列之间的这种联系推广到负指数和分数指数的情形。但他最终并没有提出对数的概念。（德国数学家施蒂费尔走到对数概念发现的门前而没有跨入。）（95）
对数发明的功绩应归功于苏格兰贵族纳皮尔。1614年纳皮尔在题为《奇妙的对数定理说明书》一书中，阐述了他的对数方法。纳皮尔没有从施蒂费尔级数的对应思想出发引入对数。纳皮尔借助与运动概念与连续的几何量的结合来引入对数。（纳皮尔借助什么来引入对数？）（95）
纳皮尔发明对数的目的其实是想用对数来解决平面和球面三角问题，因此他制作了以分弧为间隔的0~90的正弦对数表。（纳皮尔发明对数的目的是什么？）（96）
真正认识到纳皮尔对数的实用价值的是他的朋友、伦敦格雷沙姆学院的几何学教授布里格斯，他与纳皮尔合作设计以10为底的常用对数。格雷沙姆的《对数算术》实际上就是一张1~20000以及90000~100000的14位的常用对数表。（）（96）
与纳皮尔一起分享发明对数方法殊荣的还有比尔吉。比尔吉就是从施蒂费尔级数的对应思想出发引入了对数。（分享发明对数方法殊荣的数学家有谁？比尔吉是如何引入了对数？）（96）
对数发明之后不到一个世纪，这种奇妙的算法传遍世界，成为人们不可或缺的计算工具。它的出现让那些需要计算的学者、尤其是天文学家欣喜若狂，拉普里斯曾经赞誉说：“对数的发明以节省劳力而延长了天文学家的生命。”伽利略甚至说：“给我空间、时间和对数，我即可创造一个宇宙。”（对数发明后并没有马上得到科学家们的认可。）（96）
在文艺复兴时期，特别是16、17世纪，欧洲科学工作者冲破宗教势利的禁锢，发奋图强，使得初等数学这一古老学科的主要内容基本成熟，为近代数学的兴起以及后来的发展铺平道路，并为后来欧洲成为世纪数学的中心，且长盛不衰打下了坚实的基础。（）（96）
思考题：
1、导致欧洲中世纪黑暗时期出现的主要原因是什么？ 2、在欧洲中世纪黑暗时期曾经出现过那些知名的数学家，他们在当时那样的背景下各自做了哪些数学工作？
3、导致欧洲文艺复兴的因素有哪些？在欧洲文艺复兴时期主要出现了哪些数学成就？ 4、意大利数学家的三、四次方程解法的主要思想是什么？试通过具体例子说明他们是如何求解三次方程的。 5、欧洲数学家为什么要引入对数的概念？查阅相关资料，试比较纳皮尔和比吉尔引入对数的方法.
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