储油罐的变位识别与罐容表标定
摘 要
为了解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题，我们建立了积分方程模型。从计算油面高度与储油体积的函数关系出发，考虑有无变位及纵向、水平偏转对罐容表测量的影响，建立更加合理的标定罐容表模型。
问题（1），对于无变位且几何外形规则的小椭圆型储油罐，首先通过几何及积分运算，得到罐内储油量V的函数表达式，建立模型一，然后对求得的模型进行误差分析和修正。当?=4.1?时，在无变位情况下修正模型一的基础上，建立模型二，利用附件1中的实验数据，计算模型二的误差值，从而再次修正由积分得到的理论模型。然后用实际数据做出检验，得到修正后的相对误差?max?2%，说明模型的修正取得了很好的效果。利用修正后的模型，计算并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（详见表1），取部分数值如下： 高度高度高度高度H/cm 油量V/L H/cm 油量V/L H/cm 油量V/L H/cm 油量V/L 1 1.2 31 611.5 61 1805.2 91 3057.5 2 3.4 32 646.4 62 1847.9 92 3096.1 3 6.5 33 681.7 63 1890.7 93 3134.4 问题（2），对于两端是球冠体，中间是圆柱体的储油罐，首先考虑无变位情况下实际储油罐两端球冠中的油量体积，继而考虑纵向倾斜?角度的情况，可以通过油罐中倾斜液面的平均高度简化为水平液面的液面高度近似计算。而中间的圆柱体，在模型二的计算基础上进行了模型的改进。将三部分的油量体积值相加，可以得出储油罐内油量V关于纵向倾斜角度?和油位高度h的函数表达式。由几何关系可知储油罐内实际油位高度h与显示油位高度H和横向偏转角度?有关，通过模型六的建立，求解出实际油位高度h与显示油位高度H的转化关系式，从而对罐容表重新进行标注。
再利用附件2的数据，求得出油量相对误差的平均值，以平均相对误差最小作为目标函数，用matlab编程优化出变位参数
。最后将变位
参数代入模型，计算并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。 关键词：罐容表标注 变位识别 枚举法
2 问题重述
生活中常用罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。储油罐常在使用一段时间后，发生罐体的位置发生变位，从而导致罐容表发生改变。按照规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为?=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度?和横向偏转角度? ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
3 问题分析
通过建立数学模型，求得罐内油量V关于纵向倾斜角?、横向倾斜角?及油位高度h的函数关系，解决罐容表的重新标定。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据数学模型确定变位参数，解决储油罐的变位识别问题。 3.1 问题一的分析
当油罐无变位时，油的体积为油的侧面积与油罐长度之积。当油罐纵向倾斜?角时，油面相对于水平面的高度为h，油量的计算将随着h的变化而改变。当h=Lsin?和h?2bcos?将油量计算分成了三种情况。
由于探针、注油管和出油管具有一点的体积，以及随着油面的升高，油的压强的变化，会使计算量与测量量之间存在误差，综合考虑各方面的因素，可以达到误差与油面高度的关系，在可调节误差范围内，使得计算值更接近于测量值。 3.2 问题二的分析：
实际的油罐与实验用的油罐主要区别在于多出两端球冠体。将油罐的体积分为中间圆柱体和两端球冠体三个部分来计算。圆柱体的体积计算与问题一的计算方式类似。两端的球冠体将根据油面相对于水平面的高度h的不同，计算球冠中油的体积、高度h与纵向倾斜角?、横向倾斜角?的关系。将球冠体积油量与圆柱体油量相加得到总的油量与高度h，纵向倾斜角?，横向倾斜角?，根据所给的测量数据，代入不同的h，得到多个?,?的关系式，从而可以解出?,?。即可得到油量与h的关系，取不同的h值，对罐容表重新标注。
4 条件假设与符号说明
4.1问题的假设
(一) 假设问题（2）中的?，??10o；
（二）假设对球冠体积的近似计算产生的误差对结果不造成太大影响 （三）假设假设油面最高达到探针口 4.2 符号说明 符号 含义 h 油面距水平高度(m) 纵向偏移角（弧度） 横向偏移角（弧度） 椭圆或圆的弓形面积(椭圆长半轴长(m) 椭圆短半轴长(m) 储油罐的底面长度(m) 储油体积() ) ? ? s a b L V V1 V2 左球冠油量体积(m3) 右球冠油量体积(m3) 问题二圆柱半径，常量(m) i?1,2,3邻界高度 r hi h' r' 用于说明某些问题提出的高度(m) 用于说明某些问题提出的圆的半径，变量(m) 5 模型的建立与求解
5.1 问题一模型的建立与求解 5.1.1模型一
当油罐无变位时，油罐的侧面图如图1所示，建立如图所示坐标系。
图1 油罐侧面图
当油面高度为h时，侧面图上阴影部分面积表达式：
可求得储油体积表达式：
利用所建模型，并结合附表1中油位高度的数据，通过matlab编程，得到理论计算罐容量值。将计算得到的预测值与附表中给出的测量值，代入matlab中，比较结果如图2：
图2 无变位时预测值与测量值
预测值与测量值的差值，可得如图3：
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