探索规律题

探索规律题

特点：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或与图形有关的操作变化过程，或某一具体的

问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论 原则：⑴类推：项找项，和找和，差找差，积找积；⑵有序：从特殊开始，从简单开始

一．数值规律

形式：已知数字在一定条件下的排列或运算顺序或部分结论，要求归纳出一般性结论 方法：将所给的每个数据化为有规律的式子，找出规律，并用字母表示出一般规律 步骤：1、标序数；2、详观察；3、找关系；4、写规律；5、验真假

1、有一组数：1,3,5,7,9???，请观察它们的构成规律，写出第n（n为正整数）个数为________________；

251017262、如图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字，电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈。

现在一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2 010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是__________；

3、我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，

每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2， 4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则 称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14， …，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是 ________，第n个数为 ____；

12345624 4、观察下面一列有规律的数,,,,,,???，根据这个规律可知第n个数是 （n是正整数）； 381524354815 5、观察图中一列有规律的数，然后在“？”处填上一个合适的数，这个数是______________； 6、观察右图并寻找规律，x处填上的数字是 ； 8 7、观察下列式子：1?4?2?6?2?3；2?5?2?12?3?4；3?6?2?20?4?5； 3 0 4?7?2?30?5?6……请你将猜想得到的式子用含正整数n的式子表示来__________； 8、我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者 210之间可以互相换算，如?101?2?1?2?0?2?1?2?4?0?1?5；

35 48 ？ -26 -8 -4 -2 -2 -14 -48 -88 x ?1011?2?1?23?0?22?1?21?1?20?8?0?2?1?11．二进制数换算成了

十进制数，按此方式，将二进制数

2013

?1001?2换算成十进制数的结果是 ；

2

3

2012

9、求1+2+22+23+…+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22012，则2S=2+22+23+24+…+22013，

因此2S﹣S=2

﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+5+5+…+5

的值为_________ ；

10、阅读下列方法：为了找出序列3、8、15、24、35、48、……的规律，我们有一种“因式分解法”。如下表：

分解因式： 1×3 1×8 1×15 1×24 1×35 1×48 2× 4 3× 5 2× 12 5× 7 2× 24

4× 6 3× 16

4× 12 6× 8 因此，我们得到第n项是n(n+2),请你利用上述方法，说出序列：0、5、12、21、32、45、……的第n项是 ；

二．数式规律

题型：数式、数阵、数幂

关键：1、数式、数幂：化为有规律的代数式或等式；2、数阵：找出其数据之间的关系 方法：横向看每个等式从左到右的变化规律，纵向看每列数、式之间的变化规律

b5b8b11b21、一组按规律排列的式子：?，2，?3，4，···（a b?0），其中第n个是________（n为正整数）；

aaaa

1

2、已知an?1(n?1，2，3...)，，记b1?2(1?a1)，b2?2(1?a1)(1?a2)，…，

(n?1)2bn?2(1?a1)(1?a2)...(1?an)，则bn＝_____________ (用含n表示)；

a1?0，a2??|a1?1|，a3??|a2?2|，3、已知整数a1,a2,a3,a4,???满足下列条件：

，a4??|a3?3|，…，依次类推，则a2012的值为_____________ ；

4、把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一

行、第二行、第三行、……，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、……，则第10个数为________。

y

5、观察图形，解答问题：

（1）按下表已填写的形式填写表中的空格； （2）用你发现的规律求出图④中的

图① 图② 图③ 数y和图⑤中的数x；

三个角上三个数的 1×(－1)×2=－2 (－3)×(－4)×(－5)=－60 积

三个角上三个数的 1＋(－1)＋2=2 (－3)＋(－4)＋(－5)=－12 和

积与和的商 －2÷2=－1, 6、观察下面一列数： 1 -2 3 -4

5 -6 7 -8 9

-10 11 -12 13 -14 15 -16

…… …… 按上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是 。

x 14221932116421???2???3???7、观察下列各式 ：，，，

33344455523125524???……，设n为正整数，请用关于n的等式表示这个规律

666为：______________ __ ；

3 5

33 7

9 11

13 15

4317 19

8、一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：23，33和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、

3个和4个连续奇数的和，即23?3?5；33?7?9?11；43?13?15?17?19；……；若63也按照此规律来进行

“分裂”，则63“分裂”出的奇数中，最大的奇数是________；若m3分裂后，其中有一个奇数是2013，则m的值是 ；

9、我们把分子为1的分数叫做单位分数. 如，，…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如

＝?13121314121111111111，＝?，＝?，…（1）根据对上述式子的观察，你会发现＝?. 请写出□，○所表示的数；

4124635205□ ○

111（n是不小于2的正整数）＝?，请写出△，☆所表示的式。 n☆ △

（2）进一步思考，单位分数

10、填在下列各图形中的

三个数之间都有相同的规

律，根据此规律，a的值是 _________

2

11、正整数按如图的规律排列，请写出第20行，第21列

的数字 ．

12、把1到200的数像下表那样排列，用正方形框子围住

第一行

第一列 第二列

1 2 3 8 15 24

第三列 第四列 第五列

… 5 10 17 6 7 14 23

11 12 13 22

18 19 20 21

… … … …

横的3个数，竖的3个数，这9个数的和是162。如果在第二行 4

表的另外的地方，也用正方形围住另外的9个数。

9 ⑴当正方形左上角的数是100时，这9个数的和是多少？ 18152229162331017244111825512192661320277142128

第四行 第五行 ……

16 25

195196197198199200⑵当正方形中9个数的和是1557时，最大的数是多少？

13、世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是 ；

1 11 111 2 3 4 3 2 1

222 3 4 5 4 3 2 ?111113 4 5 6 5 4 3 1 4?21 1 3634 5 6 7 6 5 4 1 3 ?11 ?311111 6 1 4121241 5 ?1111111 ?1 510 A

520302051 15 ?2015 ?61 1 1 ?61111111 1 1

第1列 630606030611111111 第1行 742105140105427 第2行 …………………………………………………

第3行 第4行 …… 7

?41 ?41

5 6 7 8 7 6 5

6 7 8 9 8 7 6 7 8 9 10 9 8 7

第3列 3 5 9 11 第4列 4 10 第2列 2 6 8 12 14、观察数表根据表中数的排列规律，则字母A所表示的数是____________；

15、如图，一数表有7行7列，设aij表示第

i行第j列上的数(其中i=1,2,3,…,7，j=1,2,3,…,7). 例如：第5行第3列上的数a53?7。则（1）(a23?a22)?(a52?a53)= ；（2）此数表中的四个数anp,ank,amp,amk满足(anp?ank)?(amk?amp)= ；

16、将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第 行第 列； 17、观察下列等式： 12?231=132?21 以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有 13?341=143?31 相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子称 23?352=253?32 为“数字对称等式”：①52×________＝________×25；②________×396＝693×________； 34?473=374?43 (2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a＋b≤9，写出表示 62?286=682?26

“数字对称等式”一般规律的式子(含a、b)，并证明． ……

18、请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立：1⊕2=2⊕1=3，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）

⊕（﹣3）=﹣，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣

，…，你规定的新运算a⊕b= （用a，b的一个代数式表示）；

3

19、观察数表 第 1列 1 第1行 第2行 第3行 第2列 第3列 … … … … … 第n列 n?1 2n?1 … 2 n?2 2n?2 … 3 n?3 2n?3 … n 2n 3n …

根据表中数的排列规律，则B+D= _________ ；

20、将正整数1，2，3，…从小到大按下面规律排列．

①若第4行第2列的数为32，则n? ；②第i行第j列的数为 _________ ；（用i，j表示）

21、已知一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…将这列数排成下列形式：中间用虚线围的一列数，从上至下依次为1，5，

13，25…，按照上述规律排上去，那么虚线框中的第7个数是 ．

22、观察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，

37＝2187，38＝6 561，……，通过观察，用你所发现的规律确定32 012的 个位数字是 ；

列 一 行 一 二 三 四 15 … 二 1 13 17 … 三 3 11 19 27 四 五 5 9 7 23、将正奇数如下表排列： 按表中的排列规则，数2005应排在第

行第 列；

21 23 25 24、将自然数按以下规律排列：

第一列 第二列 第三列 第四列 第五列

第一行 1 4 5 16 17 … 第二行 2 3 6 15 … 第三行 9 8 7 14 … 第四行 10 11 12 13 … 第五行 … ……

表中数2在第二行，第一列，与有序数对（2,1）对应；数5与（1,3）对应；数14与（3,4）对应；根据这一规律，数2014对应的有序数对为 ．

25、下面是一个某种规律排列的数阵：根据数阵的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是 （用含

n的代数式表示）

26、有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：则第n次

运算的结果yn= （用含字母x和n的代数式表示）． 三．图形规律

题型：⑴同一种图形大小不一的排列问题、同一种图形的数量变化问题、数字与图形结合的排列问题、

⑵形状不同的多个图形有规律的排列问题、图形的折叠、旋转问题 关键：细心观察排列方式和层属关系及内涵

方法：从已知图形开始，观察图形、数字、式子随着序号增加时，后一个图形与前一个图形在数量上或图形上的变化规律 步骤：1、标序数；2、数图形；3、找关系；4、写规律；5、验真假

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