微专题突破·备战高考
专题34 数列中的奇偶性问题
一、题型选讲
题型一、与奇偶性有关讨论求含参问题
含参问题最常用的方法就是把参数独立出来,要独立出来就要除以一个因式,此因式的正负与n的奇偶性有关,因此要对n进行奇偶性的讨论。
1
－?n－1,若对任意n∈N*,都有1≤p(Sn－例1、(2015扬州期末）设数列{an}的前n项和为Sn,且an＝4＋??2?4n)≤3,则实数p的取值范围是________．
．
例2、(2019苏州三市、苏北四市二调）已知数列{an}的各项均不为零．设数列{an}的前n项和为Sn,数列{a2n}
*
的前n项和为Tn,且3S2n－4Sn＋Tn＝0,n∈N.
(1) 求a1,a2的值；
(2) 证明：数列{an}是等比数列；
(3) 若(λ－nan)(λ－nan＋1)<0对任意的n∈N*恒成立,求实数λ的所有值．
题型二、数列中奇偶项问题
数列通项中出现奇、偶不同的表达式,需要分奇、偶分别赋值得到关系式,再对关系式相加或相减,得到奇数项或偶数项的关系式,体现减元的思想,考生要能够多观察,多思考,养成良好的逻辑推理的习惯.
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1??3an＋n，n为奇数，
例3、例3、(2015苏州期末）已知数列{an}中a1＝1,an＋1＝?
??an－3n， n为偶数.
(1) 是否存在实数λ,使得数列{a2n－λ}是等比数列？若存在,求出λ的值；若不存在,请说明理由． (2) 若Sn是数列{an}的前n项和,求满足Sn>0的所有正整数n.
例4、(2018苏中三市、苏北四市三调）已知数列和为Sn．
（1）求a1?a3的值； （2）若a1?a5
?an?满足ann?1?(?1)an?n?5(n?N?),数列?an?的前n项2?2a3．
① 求证：数列
?a2n?为等差数列；
② 求满足S2p
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?4S2m(p，m?N?)的所有数对(p，m)．
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例5、(2017苏北四市期末）已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且a1＝a,(an＋1)(an＋1＋1)＝6(Sn＋n),n∈N*.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 若?n∈N* ,都有Sn≤n(3n＋1)成立,求实数a的取值范围；
(3) 当a＝2时,将数列{an}中的部分项按原来的顺序构成数列{bn},且b1＝a2,证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列{bn}．
题型三、数列中连续两项和或积的问题
“相邻两项的和是一次式”的特征,联想到数列{an}中相邻两项的和成等差数列,故考虑采用相邻项作差法,得到数列{an}中奇数项成等差,偶数项也成等差,而且公差相同的结论,进而求出数列通项公式．
例6、(2018苏州暑假测试）已知数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)． (1) 若数列{an}是等差数列,求a1的值； (2) 当a1＝2时,求数列{an}的前n项和Sn； (3) 若对任意
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2
a2n＋an＋1*
n∈N,都有≥5
an＋an＋1
成立,求a1的取值范围．
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例7、(2019苏州期初调查）已知数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列,数列{an}前n项和为Sn,且满足S3＝a4,a5＝a2＋a3.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 若amam＋1＝am＋2,求正整数m的值； (3) 是否存在正整数m,使得说明理由．
二、达标训练
1、(2018南京、盐城一模）设Sn为等差数列{an}的前n项和,若{an}的前2017项中的奇数项和为2018,则S2017的值为________．
2、(2019常州期末） 数列{an},{bn}满足bn＝an＋1＋(－1)nan(n∈N*),且数列{bn}的前n项和为n2,已知数列{an－n}的前2018项和为1,那么数列{an}的首项a1＝________．
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S2m
恰好为数列{an}中的一项？若存在,求出所有满足条件的m值,若不存在,S2m－1
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