2020届高三数学一轮复习典型题专题训练
立体几何
一、填空题
1、（南京市2018高三9月学情调研）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得 圆柱的体积为27πcm3，则该圆柱的侧面积为 ▲ cm2.
2、（南京市2019高三9月学情调研）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，则四棱锥A1－ B1C1CB的体积是 ▲ ．
3、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）若圆锥底面半径为1，侧面积为5?,则该圆锥的体积是____▲____． 4、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）如图，该几何体由底
面半径相同的圆柱与圆锥两部分组成，且圆柱的高与底面半径相等．若圆柱与圆锥的侧面积相等，则圆锥与圆柱的高之比为 ．
5、（南京市13校2019届高三12月联合调研）已知直线l、m与平面?、?，l??,m??，则下
列命题中正确的是 ▲ ．（填写正确命题对应的序号）． ①若l//m，则?//? ②若l?m，则??? ③若l??，则??? ④若???，则m?? 6、（徐州市2019届高三上学期期中）如图，已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，点P为棱AA1上任意一点，则四棱锥P?BDD1B1的体积为 ▲ ．
7、（苏州市2018高三上期初调研）如图，正四棱锥P?ABCD的底面一边AB的长为23cm，侧面积为83cm2，则它的体积为 cm3.
8、（扬州市2019届高三上学期期末）底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是 ． 9、（镇江市2019届高三上学期期末）已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为 ． 10、（常州市2019届高三上学期期末）已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为________.
11、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝4，AC＝3，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥B－EFC的体积为 ▲ ．
12、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末） 已知正三棱柱ABC－积为＿＿＿
则三棱锥D－BB1C1的体
13、（如皋市2019届高三上学期期末）如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AA1＝3，AB＝2，点D是棱CC1的中点，点E在棱AA1上，则三棱锥B1－EBD的体积为 ▲ ．
14、（南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟（二））已知一个圆锥的底面半径为3cm，侧面积为6?cm2，则该圆锥的体积是＿＿cm3。 15、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月）） 已知正四棱柱的底面边长是3 cm，侧面的对角线长是35cm，则这个正四棱柱的体积为 ▲ cm3． 16、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟） 设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA ??2 m，PB ??3 m，
PC ??4 m，则球O的表面积为 ▲ m2．
17、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月）） 已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=3 cm，BC=1 cm，CD=2 cm．将此直角梯形
绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 ▲ cm3．
18、（江苏省2019年百校大联考）如图所示的四棱锥P?ABCD中，底面ABCDPA?底面ABCD，
是矩形，AB?2，AD?3，点E为棱CD上一点，若三棱锥E?PAB的体积为4，则PA的长为 ．
PADEBC
二、解答题
1、（南京市2018高三9月学情调研）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，E是BC的中点，求证：
（1）平面AB1E⊥平面B1BCC1； （2）A1C//平面AB1E．
2、（南京市2019高三9月学情调研）如图，已知四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BC＝EC，F是BE的中点． （1）求证：DE∥平面ACF； （2）求证：平面AFC⊥平面ABE．
3、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，
PC⊥底面ABCD， 点E为侧棱PB的中点． 求证：(1) PD∥平面ACE； (2) 平面PAC⊥平面PBD．
4、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）如图，在三棱锥P—ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB＝BC，PA⊥PC．点E，F，O分别为线段PA，PB，AC的中点，点G是线段CO的中点． （1）求证：FG∥平面EBO； （2）求证：PA⊥BE．
5、（南京市13校2019届高三12月联合调研）如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，点D在棱BC上，AD?C1D，点E，F 分别是BB1，A1B1的中点．
（1）求证：D为BC的中点； （2）求证：EF//平面ADC1．
6、（苏州市2018高三上期初调研）如图，在三棱锥P?ABC中，已知平面PBC?平面ABC.
（1）若AB?BC,CP?PB，求证：CP?PA；
（2）若过点A作直线l?平面ABC，求证：lP平面PBC.
7、（无锡市2019届高三上学期期中）在四棱锥P - ABCD中，已知M，N分别是BC，PD的中点，若四边形ABCD是平行四边形，且∠BAC＝90°.
(1) 求证： MN∥平面PAB；
(2) 若PA⊥平面ABCD，求证：MN⊥AC.
8、（常州市2019届高三上学期期末）如图，正三棱柱ABC?A1B1C1中，点M,N分别是棱AB,CC1的中点. 求证：（1）CM//平面AB1N； （2）平面A1BN?平面AA1B1B.
9、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱
BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为棱B1C1上的中点，且A1F⊥B1C1． 求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1； （2）A1F//平面ADE．
10、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥
平面ABCD，AD＝1，PA＝AB＝2，点E是棱PB的中点． （1）求异面直线EC与PD所成角的余弦值； （2）求二面角B－EC－D的余弦值．
11、（如皋市2019届高三上学期期末）如图，在四棱锥P－ABCD
中，DC∥AB，DC＝2AB，平面PCD?平面PAD，△PAD是正三角形，E是PD的中点． （1）求证：AE⊥PC；
B E A P C
D
（第15题图）
（2）求证：AE∥平面PBC．
12、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，D，E，F分别是B1C1，AB，AA1的中点． （1）求证：EF∥平面A1BD；
（2）若A1B1=AC11，求证：平面A1BD?平面BB1C1C．
13、（南京市2019届高三第三次模拟）在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60o．
求证：（1）平面PAC⊥平面PAB；
（2）设平面PBC∩平面PAD＝l，求证：BC∥l．
14、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））
如图，在四棱锥P?ABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA=DP． 求证：（1）MN∥平面PBC；
（2）MD⊥平面PAB．
15、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）
如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1．设A1C与AC1交于 点D，B1C与BC1交于点E．
求证：（1）DE∥平面ABB1A1；
（2）BC1⊥平面A1B1C．
16、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面BPC⊥平面DPC，
BP?BC，E，F分别是PC，AD的中点． 求证：（1）BE⊥CD； （2）EF∥平面PAB．
17、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））如图，三棱锥D—ABC中，己知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F分別为BD，CD的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC； （2）BD⊥平面ACE．
参考答案
一、填空题
1、18? 2、23 3、?124、3 5③ 6、 7、4
3 38、322?? 9、332333
11、 12、 13、3 63810、
14、3? 15、54 16、29π 17、7? 18、4
3
二、解答题
1、证明：（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1?平面ABC．
因为AE?平面ABC，
所以CC1?AE． ……………2分
因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE?BC． 因为BC?平面B1BCC1，CC1?平面B1BCC1， 且BC∩CC1＝C，
所以AE?平面B1BCC1． ………………5分 因为AE?平面AB1E，
所以平面AB1E?平面B1BCC1. ……………………………7分
（2）连接A1B，设A1B∩AB1＝F，连接EF．
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1B1B为平行四边形，
所以F为A1B的中点． ……………………………9分 又因为E是BC的中点，所以EF∥A1C． ……………………………11分 因为EF?平面AB1E，A1C?平面AB1E，
所以A1C∥平面AB1E. ……………………………14分 2、证明：（1）连结BD，交AC于点O，连结OF．
因为四边形ABCD是矩形，O是矩形ABCD对角线的交点，
A
D
O
所以O为BD的中点． 又因为F是BE的中点，
所以 在△BED中，OF∥DE．……………… 4分
B
C
F
E
（第15题图）
因为OF? 平面AFC，DE? 平面AFC，
所以DE∥平面AFC． ……………… 6分 （2）因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥BC．
又因为平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD∩平面BCE＝BC，AB?面ABCD， 所以AB⊥平面BCE． …………………… 9分 因为CF?平面BCE，所以AB⊥CF． 在△BCE中，因为CE＝CB， F是BE的中点，
所以CF⊥BE． …………………… 11分
因为AB? 平面ABE，BE ?平面ABE，AB∩BE＝B，所以CF⊥面ABE． 又CF?平面AFC，所以平面AFC⊥平面ABE． …………………… 14分
3、证明：(1) 连接OE．
因为O为正方形ABCD的对角线的交点，
所以O为BD中点． ……………………2分 因为E为PB的中点，所以PD∥OE． …………4分 又因为OE?面ACE，PB?/平面ACE，
所以PD∥平面ACE． …………………………6分 (2) 在四棱锥P－ABCD中，．．．．．．． 因为PC⊥底面ABCD，BD?面ABCD，
所以BD⊥PC． …………………………………8分 因为O为正方形ABCD的对角线的交点，
所以BD⊥AC． ………………………………………………10分 又PC、AC?平面PAC，PC∩AC＝C，
所以BD⊥平面PAC． …………………………………12分 因为BD?平面PBD，
所以平面PAC⊥平面PBD． ………………………………14分 4、
5、解：（1） ?正三棱柱ABC?A1B1C1，?C1C?平面ABC，
ABC，?C1C?AD，又AD?C1D，C1D?C1C?C1
?AD?平面BCC1B1，………………………………………………………3分 又?正三棱柱ABC?A1B1C1，
?平面ABC?平面BCC1B1，?AD?BC，D为BC的中点．………6分 （2） 连接A1B，连接A1C交AC1于点G，连接DG
A1 ?矩形A1ACC1，?G为A1C的中点，
F 又由(1)得D为BC的中点，
B1 ?△A1BC中，DG//A1B…………………9分
又?点E，F分别是BB1，A1B1的中点，
?△A1B1B中，EF//A1B，?EF//DG，……12分
E 又EF?平面ADC1，DG?平面ADC1 A ?EF//平面ADC1．………14分
又AD?平面
C1
G C
D
6、（1）因为平面PBC?平面ABC，平面PBC?平面ABC?BC，
B
AB?平面ABC，AB?BC，所以AB?平面PBC.
因为CP?平面PBC，所以CP?AB
又因为CP?PB，且PB?AB?B，PB?平面PAB， 所以CP?平面PAB，
又因为PA?平面PAB，所以CP?PA.
（2）在平面PBC内过点P作PD?BC，垂足为D. 因为平面PBC?平面ABC，又平面PBC?平面ABC?BC,
PD?平面PBC，所以PD?平面ABC.
又l?平面ABC，所以l//PD.
又l?平面PBC，PD?平面PBC，l//平面PBC.
7、证明：(1) (证法1)取PA的中点G，连结BG，GN.
1
∵ 点N是PD的中点，∴ NG∥AD，且NG＝AD.(2分)
2
1
∵ 点M是BC的中点，∴ BM＝BC.
2
1
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ BM∥AD，且BM＝AD.(4分)
2
∴ 四边形BMNG是平行四边形. 又MN∥平面PAB，BG?平面PAB， ∴ MN∥平面PAB.(6分)
(证法2)取AD中点H，连结NH，MH. ∵ 点N是PD的中点，∴ NH∥PA.
又NH?平面PAB，PA?平面PAB，∴ NH∥平面PAB.(2分)
∵ M，H分别是BC，AD的中点，四边形ABCD是平行四边形， ∴ MH∥AB.
又MH?平面PAB，AB?平面PAB，∴ MH∥平面PAB.(4分) 又MH∩NH＝H，∴ 平面MNH∥平面PAB. ∵ MN?平面PAB，∴ MN∥平面PAB.(6分) (2) ∵ PA⊥平面ABCD，由(1)知NH∥PA， ∴ NH⊥平面ABCD，AC?平面ABCD. ∴ NH⊥AC，即AC⊥NH.(8分) ∵ ∠BAC＝90°，∴ AC⊥AB.
又MH∥AB，∴ AC⊥MH.(10分)
∵ MH∩NH＝H，NH?平面MNH，MH?平面MNH， ∴ AC⊥平面MNH.(12分)
而MN?平面MNH，∴ AC⊥MN，即MN⊥AC.(14分) 8、（1）设A1B与AB1的交点为O，连MO，NO
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，O为AB1的中点，OM∥BB1，且OM＝依题意，有CN∥BB1，且CN＝
1BB1， 21BB1， 2∴ OM∥CN，且OM＝CN
∴ 四边形CMON为平行四边形， ∴ CM∥ON
而CM?平面AB1N，ON?平面AB1N， ∴ CM∥平面AB1N。
（2）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∴ BB1⊥CM， 又CM⊥AB，AB∩BB1＝B，∴ CM⊥平面ABB1A1， 因为CM∥ON，∴ ON⊥平面ABB1A1 ON?平面A1BN，
∴ 平面A1BN⊥平面ABB1A1
9、证明：（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC． ……………………2分
因为AD?平面ABC，所以BB1⊥AD．
又因为AD⊥DE，在平面BCC1B1中，BB1与DE相交，所以AD⊥平面BCC1B1． 又因为AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1． …………………6分 （2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1． …………………8分
因为A1F?平面A1B1C1，所以BB1⊥A1F．
又因为A1F⊥B1C1，BB1∩B1C1＝B1，所以A1F⊥平面BCC1B1． …………………10分
在(1)中已证得AD⊥平面BCC1B1，所以A1F//AD．
又因为A1F?平面ADE，AD?平面ADE，所以A1F//平面ADE． …………………14分
10、解：（1）因PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直，
以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 又因PA＝AB＝2，AD＝1，
所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，………2分 因为E是棱PB的中点，所以E(
22，0，)， 22
→22→所以EC＝(，1，－)，PD＝(0，1，－2)，
22→→所以cos＜EC，PD＞＝
1＋16
＝， 311
＋1＋·1＋222
6
． ……………………6分 3
所以异面直线EC与PD所成角的余弦值为
→→22→（2）由（1）得EC＝(，1，－)，BC＝(0，1，0)，DC＝(2，0，0)，
22
??2x1＋y1－2z1＝0，
2设平面BEC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，所以?2
??y1＝0．
令x1＝1，则z1＝1，所以面BEC的一个法向量为n1＝(1，0，1)，
??2x2＋y2－2z2＝0，
2设平面DEC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，所以?2
?2x2＝0．?
令z2＝2，则y2＝1，所以面DEC的一个法向量为n2＝(0，1，2)， 所以cos＜n1，n2＞＝
23
＝．由图可知二面角B－EC－D为钝角，
1＋1·1＋23
3
． …………………………10分 3
所以二面角B－EC－D的余弦值为－
11、【证明】（1）因为△PAD是正三角形，点E是PD的中点，
所以AE⊥PD． …… 2分
又平面PCD⊥面PAD，平面PCD∩平面PAD＝PD，AE
平面PAD．
所以AE⊥平面PCD． …… 5分 又PC平面PCD，
所以AE⊥PC． …… 7分
（2）取PC的中点F，连结EF，
在△PCD中，E，F分别是PD，PC的中点，
所以EF∥CD且CD＝2EF．
P 又AB∥CD，CD＝2AB， 所以EF∥AB且EF＝AB，
F B C
D
（第15题图）
E A
所以四边形AEFB是平行四边形， 所以AE∥BF， …… 10分 又AE?平面PBC，BF?平面PBC，
所以AE∥平面PBC． …… 14分 12、（1）因为E，AA1的中点，所以EF∥A1B． ………………………3分 F分别是AB， 因为EF?平面A1BD，A1B?平面A1BD，
所以EF∥平面A1BD． …………………………6分 （2）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，BB1?平面A1B1C1， 因为A1D?平面A1B1C1，所以BB1?A1D． ……8分 因为A1B1?A1C1，且D是B1C1的中点，
所以A1D?B1C1． ………………………………10分
因为BB1IB1C1?B1，B1C1，BB1?平面BB1C1C，
所以A1D?平面BB1C1C． ………………………12分 因为A1D?平面A1BD，
所以平面A1BD?平面BB1C1C． …………………14分
13、证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以PA⊥AC． ············································································ 2分
因为AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60o，由余弦定理，
得AC＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝12＋22－2×1×2cos60o＝3．··· 4分
F
B1 A1 D C1
A
E
C
B 因为12＋(3)2＝22，即AB2＋AC2＝BC2，所以AC⊥AB． ····················· 6分
又因为AC⊥PA，且PA∩AB＝A，PA?平面PAB，AB?平面PAB， 所以AC⊥平面PAB．
又AC?平面PAC，所以平面PAC⊥平面PAB． ··································· 8分 （2）因为BC∥AD，AD?平面PAD，BC?平面PAD，
所以BC∥平面PAD． ···································································· 10分 又因为BC?平面PBC，且平面PBC∩平面PAD＝l，
所以BC∥l． ··············································································· 14分
14、【证明】（1）在四棱锥P?ABCD中，M，N分别为
棱PA，PD的中点，
所以MN∥AD．……………………2分 又底面ABCD是矩形， 所以BC∥AD．
所以MN∥BC． …………………………………………………………………4分 又BC?平面PBC，MN?平面PBC，
所以MN∥平面PBC． …………………………………………………………6分
（2）因为底面ABCD是矩形， 所以AB⊥AD．
又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，AB?底面ABCD， 所以AB⊥侧面PAD．……………………………………………………………8分 又MD?侧面PAD，
所以AB⊥MD． ………………………………………………………………10分 因为DA=DP，又M为AP的中点，
从而MD⊥PA． ………………………………………………………………12分 又PA，AB在平面PAB内，PAIAB?A，
所以MD⊥平面PAB．…………………………………………………………14分 15、【证明】（1）因为三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱，
所以侧面ACC1 A1为平行四边形．
又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，
同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB．………………3分 又AB?平面ABB1 A1，DE?平面ABB1 A1，
所以DE∥平面ABB1A1． ………………………………………………………………6分 （2）因为三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1．
又因为A1B1?平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1． ………………………………………8分 又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1?平面BCC1B1，BB1∩B1C1 ??B1，
所以A1B1⊥平面BCC1B1． ……………………………………………………………10分 又因为BC1?平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1．………………………………………12分 又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C． 又A1B1∩B1C ? B1，A1B1，B1C ?平面A1B1C，
所以BC1⊥平面A1B1C．………………………………………………………………14分 16、【证】（1）在△PBC中，因为BP?BC，E是PC的中点， 所以BE⊥PC． …… 2分
又因为平面BPC⊥平面DPC，
平面BPCI平面DPC?PC，BE?平面BPC， 所以BE⊥平面PCD． …… 5分 又因为CD?平面DPC，
所以BE⊥CD． …… 7分 （2）取PB的中点H，连结EH，AH． 在△PBC中，又因为E是PC的中点， 所以HE∥BC，HE?1BC．…… 9分
2A F D B H C
E P 又底面ABCD是平行四边形，F是AD的中点， 所以AF∥BC，AF?1BC．
2 所以HE∥AF，HE?AF， 所以四边形AFEH是平行四边形，
所以EF∥HA． …… 12分 又因为EF?平面PAB，HA?平面PAB，
所以EF∥平面PAB． …… 14分 17、（1）三棱锥D?ABC中，
∵E为DC的中点，F为DB的中点，∴EF∥BC， …………………………3分 ∵BC?平面ABC，EF?平面ABC，
∴EF∥平面ABC． ……………………………………………………………6分 （2）∵AC?BC，AC?DC，BCIDC?C，
∴AC?平面BCD， …………………………………………………………………8分 ∵BD?平面BCD，∴AC?BD， ………………………………………………10分 ∵DC?BC,E为BD的中点，∴CE?BD， ……………………………………12分 ∵ACICE?C，∴BD?平面ACE． …………………………………………14分
相关推荐：
loading