第2讲 概 率
一、选择题
1.(2019江西南昌外国语学校高考适应性测试)有标号分别为1、2、3的蓝色卡片和标号分别为1、2的绿色卡片,从这五张卡片中任取两张,则这两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的概率是( ) A.2 B.5 C.5 D.10
答案 D 因为从五张卡片中任取两张共有10种取法,这两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的取法有2+1=3种,因此所求概率是10.
2.若正方形ABCD的边长为4,E为四边上任意一点,则AE的长度大于5的概率为( ) A.32 1
3
1
1
2
3
B.8 C.8 D.8
731
答案 D 设M,N分别为BC,CD上靠近点C的四等分点,则当点E在线段CM,CN(不包括M,N)上时,AE的长度大于5,因为正方形的周长为16,|CM|+|CN|=2,所以AE的长度大于5的概率为16=8,故选D.
3.(2019河北石家庄3月教学质量检测)袋子中有大小、形状完全相同的四个小球,分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字,有放回地从中任意摸出一个小球,直到“和”“谐”两个字都被摸到就停止摸球,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数,分别用1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字,以每三个随机数为一组,表示摸球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:
343 432 341 342 234 142 243 331 112 342 241 244 431 233 214 344 142 134 由此可以估计,恰好在第三次就停止摸球的概率为( ) A.6 B.9 C.18 D.9 答案 B 由题意知,经随机模拟产生了18组随机数,
其中恰好在第三次就停止摸球的随机数有142,112,241,142,共4组,由此可以估计,恰好在第三次就停止摸球的概率P=18=9.故选B.
4
2
1
2
5
12
1
4.(2019安徽合肥第二次教学质量检测)若在x2+y2≤1所围区域内随机取一点,则该点落在|x|+|y|≤1所围区域内的概率是( ) A.π B.π C.2π
1
2
1
D.1-π 1
答案 B 如图,x2+y2≤1表示的区域是半径为1的圆面,其面积为π,|x|+|y|≤1表示的区域是边长为√2的正方形及其内部,其面积为2,∴在x2+y2≤1所围区域内随机取一点,该点落在|x|+|y|≤1所围区域内的概率为π,故选B.
2
5.现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛,共有2道备选题目,若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题,则其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( ) A.3 B.3 C.2 D.4 答案 C 记两道题分别为A,B,所有抽取的情况为
AAA,AAB,ABA,ABB,BAA,BAB,BBA,BBB(其中第1个,第2个分别表示两个女教师抽取的题目,第3个表示男教师抽取的题目),共有8种,其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA,ABB,BAA,BAB,共4种.故所求事件的概率为2.故选C.
6.(2019湖南怀化3月第一次模拟)《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说,书中有这样一个情节:一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球,灯球有两种,一种是大灯下缀2个小灯,另一种是大灯下缀4个小灯,大灯共360个,小灯共1 200个.若在这座楼阁的灯球中,随机选取一个灯球,则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为( ) A. B. 3
31
2
1
1
2
1
3
C.4 D.4 答案 B 设大灯下缀2个小灯的灯球有x个,大灯下缀4个小灯的灯球有y个,根据题意可得{
??+??=360,
2??+4??=1 200,
2402
13
解得x=120,y=240,
故这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为360=3,故选B.
二、填空题
7.(2019广东广州二模)从某班5名学生(其中男生3人,女生2人)中任选3人参加学校组织的社会实践活动,则所选3人中至少有1名女生的概率为 . 答案
910
解析 采用间接法,从某班5名学生中任选3人共有10种选法,3名学生全为男生的选法有1种.所选3人中至少有1名女生的对立事件是没有女生,即全为男生,所以所求概率P=1-10=10.
8.(2019安徽合肥一模)部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形,由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形,沿三角形的三边中点连线,将它分成4个小三角形,去掉中间的那一个小三角形后,对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形,如图.
1
9
现在图(3)中随机选取一个点,则此点取自阴影部分的概率为 . 答案
916
解析 设题图(3)中一个小阴影三角形的面积为S,则整个三角形的面积为16S,阴影部分的面积为9S,所以根据几何概型概率公式可得,在题图(3)中随机选取一个点,则此点取自阴影部分的概率为16.
9.(2019湖南衡阳联考(二))已知圆C:(x-2)2+y2=2,在圆C内随机取一点M,直线OM交圆C于A,B两点(O为坐标原点),则|AB|<2的概率为 . 答案 2-π 解析 由已知得C(2,0),当|AB|=2时,∠ACB=90°,所以当|AB|<2时,点M在如图所示的阴影部分,S阴影=2×(2-1)=π-2,所以|AB|<2的概率P=??=2π=2-π.
圆
9
11
π
??阴影π-211
三、解答题
10.(2019北京,17,12分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下: 支付金
额
不大于2 000
元 27人 24人
(1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数;
(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率;
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2 000元.结合(2)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000 元的人数有变化?说明理由.
解析 (1)由题知,样本中仅使用A的学生有27+3=30人,仅使用B的学生有24+1=25人,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.
故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.
估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为100×1 000=400.
(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于2 000元”,则P(C)=25=0.04.
(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,该学生本月的支付金额大于2 000元”.
1
40
大于2 000元
支付方式 仅使用A 仅使用B
3人 1人
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