20、（本小题满分12分）设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于?，线段??的长是8， ??的中点到x轴的距离是3．?两点，???求抛物线的标准方程；
????在抛物线上是否存在不与原点重合的点?，使得过点?的直线交抛物线于另一
点Q，满足?F?QF，且直线?Q与抛物线在点?处的切线垂直？并请说明理由． 21、（本小题满分12分）已知函数f?x??alnx?ax?3（a?0）．
???讨论f?x?的单调性；
2?e,e????若f?x???a?1?x?4?e?0对任意x????恒成立，求实数a的取值范围（e为
自然常数）；
n???）（n?2，． ?????求证ln?22?1??ln?32?1??ln?42?1??????ln?n2?1??1?2lnn!
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，?，?，C为e?上的三个点，?D是???C的平分线，交e?于点D，过?作e?的切线交?D的延长线于点?． ???证明：?D平分???C；
????证明：???DC??????．
23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
??x?2cos?已知在直角坐标系x?y中，圆锥曲线C的参数方程为?（?为参数），定
??y?3sin?点?0,?3，F1、F2是圆锥曲线C的左、右焦点．
?????以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F1且平行于直线
?F2的直线l的极坐标方程；
????设???中直线l与圆锥曲线C交于?，?两点，求F1??F1?．
24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数f?x??x?2?2x?4，g?x??a?x．
???当a?3时，解不等式f?x??g?x?；
????画出函数y?f?x?的图象，根据图象求使f?x??g?x?恒成立的实数a的取值范围．
2015年数学科模拟试题答案（理科）
1 D 13. 2 14. ?540 15. -1 16. (,1)
2 A 3 D 4 B 5 B 6 D 7 C 8 B 9 C 10 A 11 D 12 C 133???,??A??? 444?2?5?……………………2分 ?,A??,?A?431217.(1)解：?0?A??C??3……………………4分
（2）
?sinB?23,sinC?22?b:c?2:3……………………6分
?b?c?2?3,?b?2,c?3……………………8分
sinA?sin(B?C)?6?2……………………10分 4?S?ABC?116?23频率?3bcsinA??2?3?? 2244组距0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.5
1
1.5
2
2.5
3
(千元)
……………………12分
18.答案：⑴因为网购金额在2000元以上的频率为0.4，
所以网购金额在2000元以上的人数为100?0.4=40 所以30?y?40，
所以y?10，……………………1分
x?15，……………………2分
所以p?0.15,q?0.1……………………4分
所以频率分布直方图如右图……………………5分 ⑵由题设列联表如下 合网龄3年以上 网龄不足3年 计 5 20 25 40 60
100 ……………………7分
购物金额在2000元以上 35 购物金额在2000元以下 40 合计 275 n(ad?bc)2100(35?20?40?5)2所以K?=?5.56……………………9
75?25?40?60(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)分
因为5.56?5.024……………………10分
所以据此列联表判断，有97.5%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关. ……………………12分
19.证明：（1）取AD中点O，连结PO,BO.
侧面PAD为等边三角形，底面ABCD为菱形且?DAB??3
?PO?AD,BO?AD……………………2分
PO?BO?O,?AD?面POB……………………4分
?PB?AD……………………5分
（2）侧面PAD?底面ABCD，侧面PAD?底面ABCD=AD，
?PO?面ABCD， PO?AD ?PO?面ABCD……………………7分
以O为坐标原点，OA方向为x轴，OB方向为y轴，OP方向为z轴建立空间直角坐标系，设A点坐标为(1,0,0)
则B(0,3,0),P(0,0,3),D(?1,0,0),C(?2,3,0)
?PA?(1,0,?3),PD?(?1,0,?3),AB?(?1,3,0)……………………8分
设面PAB的法向量为n1?(x1,y1,z1)，
?
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