z变换、离散时间系统的z域分析
一、基 本 要 求
通过本章的学习，学生应该理解z变换的定义、收敛域（ROC）的概念；掌握z变换的性质，z变换及逆z变换的计算方法，以及离散系统的z域分析法。深刻理解系统函数
H（z）及H（z）与离散系统因果性、稳定性的关系，离散系统的频率响应H（ejw）。能绘
制系统的幅频响应、相频响应曲线。
二、知 识 要 点 1、z变换
（1） Z变换定义
???nx(n)z,双边z变换????? X(z)??[x(n)]????n?x(n)z，单边z变换???n?0
若x(n)?x(n)u(n)，则
x(n)的单边z变换?x(n)的双边z变换
（2）z变换的收敛域
①一般地，双边序列x(n)的X(z)，其收敛域为z平面上以原点为中心的圆环内部，即
Rx1?z?Rx2；
②有限长序列x(n)的X(z)，其收敛域为整数个z平面，即0?z??，也包括z?0或
z??；
③右边序列x(n)的X(z)，其收敛域为某圆的外部，即Rx1?z??，也可能包括
z??；
④左边序列x(n)的X(z)，其收敛域为某圆的内部，即0?z?Rx2，可能包括z?0； （3）典型序列的z变换
?[?(n)? ]，1 0?z?? ?[u(n)?]zz?1， z?1 z ?[nu(n)?](z?1)zz?azz?e2， z?1
?[auu(n)?] ?[ejw0n， z?a
， z?ejw?1
0u(n)?]jw0
（4）逆z变换
①围线积分法（留数法）
x(n)??mRes[X(z)z?zzmn?1
]式中Res表示极点的留数，zm为X(z)zn?1的极点。
计算s阶极点zm的留数公式为
?s?1??dsn?1??[(z?zm)X(z)z]? ?s?1(s?1)!?dz??z?zm?1Res[X(z)zn?1]z?zm②幂级数展开法（长除法） X(z)=N(z)D(z)
N(z)除以D(z)，将F(z)展开成z?1的幂级数。
注意：若原序列x(n)为右边序列，则将N(z)、D(z)按z的降幂排序；若原序列x(n)为左边序列，则将N(z)、D(z)按z的升幂排列。 ③部分分式展开法
当X(z)为z的有理函数时，可先将
X(z)z展成一些简单常见的部分分式之和，然后
每个分式乘以z，再对各个分式求逆变换，最后相加即可得x(n)。 （5）z变换的基本性质 设?[x(n)]?X(z)， Rx1?z?Rx2
y(z，) Ry1?z?Ry2
] ?[y(n)?① 线性
?[ax(n)?by(n)]?aX(z)?bY(z) （a，b为常数）
max(Rx1,Ry1)?z?min(Rx2,Ry2)
② 位移法 双边z变换
?[x(n)?m]?z?mX(z)，Roc不变
单边z变换
?1?[x(n?m)]?z?m[X(z)??k??mm?1x(k)z?k]， Roc不变
?[x(n?m)]?z[X(z)?m?x(k)zk?0?k]， Roc不变
③ 序列线性加权（z域微分） ?[nx(n)]??zddzX(z)，Roc不变
④ 序列指数加权（z域尺度变换） ?[ax(n)]?X?⑤ 初值定理 x(0)?x??n?z??， a??aRx1?z?aRx2
limz(
条件：x(n)是因果序列。 ⑥ 终值定理
[(? x(?)?limzz?1X1)z ()]条件：X(z)的极点必须处在单位圈内，在单位圈上只能位于z?1点且只是一阶极点。 ⑦ 时域卷积定理
?[x(n)?y(n)?]
X(z?)Y (zmaxR(x1R,y1?)z?12?j12?miRn(R,x22y
zX(v)⑧ 序列相乘（z域卷积） ?[x(n)?y(n?)]??c1Y)?1v(v) vd ???jc2zX(v)Y(v)v?1d v
Rx1Ry1?zvz?Rx2R 2yzv其中C1，C2分别为X()与Y(v)或X(v)与Y()收敛域重叠部分内逆时针旋转的围线。
（6）z变换与拉氏变换的关系
?[x(nT)?]Xz(z?)e|?Xs (sT
??[x(t)??T(t )] 或
X(z)???zX(s)?Res?sT?
z?e??X(s)的诸极点
2. 离散时间系统的z域分析
（1）利用z变换求解差分方程，其原理是基于z变换的线性和位移性，即将差分方程两边取单边z变换，再代入初始条件求得Y(z)，最后求逆变换即得响应y(n)。
（2）用z变换求系统的零输入响应yzi(n)，先将系统的齐次方程进行单边z变换，再代入初始状态y(?1),y(?2),?,y(?N),求出Yzi(z)，最后进行逆变换，就可得到Yzi(n)。 （3）用z变换求系统零状态响应yzs(n)，先求出系统函数H(z)，再将激励序列x(n)的z变换X(z)与之相乘，得到Yzs(z)，最后进行逆变换，就可得到yzs(n)。 （4）离散系统的系统函数 H(z)?Yzs(z)X(z)
H(z)与单位样值响应h(n)是一z变换对，即?[h(n)]?H(z)
3.离散时间系统稳定性判决 （1）时域判决条件
??n???h(n)?M （充要条件）
对于因果系统，①式可改写为
?
?n?0h(n)?M
（2）因果系统的稳定性的z域判决条件
①若H(z)的全部极点落在单位圆内，则系统稳定；
②若H(z)有极点落于单位圆外，或在单位圆上具有二阶以上的极点，则系统不稳定； ③若H(z)在单位圆上有一阶极点，但其他极点均在单位圆内，则系统临界稳定。 4.离散系统的频率响应特性 H(ej?)
频率响应H(ej?)是离散稳定系统在正弦序列作用下的稳态响应特性，即 H(ej?)?Hz(H(ej? )j?z?e)与单位样值响应h(n)是一对傅里叶变换，即
?
j?H(ej?)??n???h(n)e?j?n?H(ej?)ej?(?)
其中H(e)是离散系统的幅度响应，?(?)是响应响应。
离散系统频率响应H(ej?)与连续系统频率响应H(jw)的最大区别在于前者是周期函
2?T数，其周期为序列的重复频率?s?（若令T?1，则?s?2?）。
典型例题
例题
?1?1：求双边序列x(n)????2??|n|的z变换，并标明收敛域及绘出零极点图。
?n解：X(z)? ??n????1??n??z??2??zz?12?|n|?1?n????1????2?z?n?1??n????z n?0?2??nz2?z3z(z?2)(2z?1)
零点：z=0, z=∞ 极点：z?收敛域：
1212，z=2
?|z|?2
例题2求下列X(z)的逆变换x(n)。 （1）X(z)?1?1?0.5z34z?1?1?18 (|z|?z?212)
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