高中数学竞赛讲义(五)数列

高中数学竞赛讲义（五） ──数列

一、基础知识

定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，an=Sn-Sn-1.

定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.

定理2 等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=

；3）an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，

则an+am=ap+aq；5）对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.

定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有公比。

，则{an}称为等比数列，q叫做

定理3 等比数列的性质：1）an=a1qn-1；2）前n项和Sn，当q

1时，Sn=；

当q=1时，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。

定义4 极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|an-A|<，则称A为n→+∞时数列{an}的极限，记作

定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等

比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为

（由极限的定义可得）。

定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

竞赛常用定理

定理4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

定理5 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ，则xn=c1an-1+c2βn-1，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若α=β，则xn=(c1n+c2) αn-1，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。

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二、方法与例题 1．不完全归纳法。

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。

例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。

【解】1）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n.

例2 已知数列{an}满足a1=

,a1+a2+…+an=n2an, n≥1，求通项an.

【解】 因为a1=

,又a1+a2=22·a2,

所以a2=，a3=,猜想(n≥1).

证明；1）当n=1时，a1=，猜想正确。2）假设当n≤k时猜想成立。

当n=k+1时，由归纳假设及题设，a1+ a1+…+a1=[(k+1)2-1] ak+1,，

所以

=k(k+2)ak+1,

即

=k(k+2)ak+1,

所以

=k(k+2)ak+1,所以ak+1=

由数学归纳法可得猜想成立，所以

例3 设01.

【证明】 证明更强的结论：1

2)假设n=k时，①式成立，即1

由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。 2．迭代法。

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数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n-1等，这种办法通常称迭代或递推。

例4 数列{an}满足an+pan-1+qan-2=0, n≥3，q0，求证：存在常数c，使得

·an+

【证明】

·an+1+

(pan+1+an+2)+

=an+2·(-qan)+

).

+

+

=0，取c=0即可.

，公=

+an(pqn+1+qan)]=q(

若若

式为q的等比数列。

所以

+

=

·qn.

=0，则对任意n, 0，则{

}是首项为

取

综上，结论成立。 例5 已知a1=0, an+1=5an+

·即可.

，求证：an都是整数，n∈N+.

【证明】 因为a1=0, a2=1，所以由题设知当n≥1时an+1>an. 又由an+1=5an+

移项、平方得

①

当n≥2时，把①式中的n换成n-1得

②

因为an-1

再由a1=0, a2=1及③式可知，当n∈N+时，an都是整数。 3．数列求和法。

数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。

-1=0的两个不等根。，即

例6 已知an=(n=1, 2, …)，求S99=a1+a2+…+a99.

【解】 因为an+a100-n=+=，

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所以S99=

例7 求和：+…+

【解】 一般地，

，

所以Sn=

例8 已知数列{an}满足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn为数列的前n项和，求证：Sn<2。

【证明】 由递推公式可知，数列{an}前几项为1，1，2，3，5，8，13。

因为， ①

所以。 ②

由①-②得，

所以。

又因为Sn-2

>0,

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