2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1（1）若lim(e?ax?bx)x?0x2x2?1,则（ ）
(A)a?1，b??1 2(B)a??,b??1 (C)a?1211,b?1 (D)a??,b?1 22（2）下列函数中，在x?0处不可导的是（ ） (A)f?x??xsinx (C)f?x??cosx
(B)f?x??xsin (D)f?x??cos
x x ?2?ax,x??1??1,x?0?,g(x)??x,?1?x?0,若f(x)?g(x)在R上连续，则（ ） （3）设函数f(x)???1,x?0?x?b,x?0? (A)a?3,b?1 (C)a??3,b?1
(B)a?3,b?2 (D)a??3,b?2
（4）设函数f(x)在[0,1]上二阶可导，且 (A)当f?(x)?0时,f()?0
?10f(x)dx?0,则（ ）
112(B) 当f??(x)?0时,f()?0
2 - 1 -
(C) 当f?(x)?0时,f(12)?0
(D) 当f??(x)?0时,f(12)?0
?2?（5）设M??2?1?x?2??1?x2dx,N??1?x???xdx,K???2?2?1?cosxdx,则（ ） 2e?2 (A)M?N?K (B)M?K?N (C)K?M?N (D)K?N?M
2（6）?02?x12?x2?1dx??x(1?xy)dy??0dx?x(1?xy)dy?（ ）
(A)
5773 (B)
5 6 (C) 3 (D)
6 ?110（7）下列矩阵中与矩阵???011??相似的为（ ）
??001????11?1??10?1? (A) ?011?(B) ???
?011??001????001?
???11?1??10?1 (C) ??010?(D) ????
?010??
?001????001??（8）设A,B为n阶矩阵，记r?X?为矩阵X的秩，?X,Y?表示分块矩阵，则（ (A) r?A,AB??r?A?
(B) r?A,BA??r?A?
- 2 -
）
(C) r?A,B??maxr?A?,r?B?
二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分. （9）limx[arctan(x?1)?arctanx]? x???2??(D) r?A,B??rATBT
??（10）曲线y?x?2lnx在其拐点处的切线方程是 （11）
2???51dx? 2x?4x?3?x?cos3t?，在t?对应点处的曲率为 （12）曲线?34?y?sint（13）设函数z??x,y?由方程lnz?ez?1?xy确定,则?z1? ?x(2,)2（14）设A为3阶矩阵,?1,?2,?3是线性无关的向量组,若A?1?2?1??2??3,A?2??2?2?3,A?3???2??3, 则A的实特征值为 .
三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）
求不定积分?e2xarctanex?1dx.
（16）（本题满分10分）
已知连续函数f(x)满足?f(t)dt??tf(x?t)dt?ax2
00xx - 3 -
（I）求f(x)；
（II）若f(x)在区间[0,1]上的平均值为1,求a的值.
（17）（本题满分10分）
?x?t?sint,设平面区域D由曲线?(0?t?2?)与x轴围成,计算二重积分??(x?2y)d?.?y?1?costD
（18）（本题满分10分）
已知常数k?ln2?1.证明：(x?1)(x?lnx?2klnx?1)?0. （19）（本题满分10分）
2将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值.
（20）（本题满分11分）
已知曲线L:y?
42x(x?0),点O?0,0?,点A?0,1?.设P是L上的动点，S是直线OA与直线AP及曲线L 9所围成图形的面积，若P运动到点?3,4?时沿x轴正向的速度是4，求此时S关于时间t的变化率.
- 4 -
（21）（本题满分11分）
设数列?xn?满足：x1?0,xnexn?1?exn?1(n?1,2,L),证明?xn?收敛，并求limxn.
n??
（22）（本题满分11分）
设实二次型f(x1,x2,x3)?(x1,?x2?x3)2?(x2?x3)2?(x1?ax3)2,其中a是参数.
(I) 求f(x1,x2,x3)?0的解； (II) 求f(x1,x2,x3)的规范形.
（23）（本题满分11分）
?12a??1a2?????已知a是常数，且矩阵A=?130?可经初等列变换化为矩阵B=?011?.
?27?a???111?????(I) 求a;
(II) 求满足AP?B的可逆矩阵P.
- 5 -
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的.
?1?cosx,x?0?（1）若函数f(x)??在x=0连续，则 ax?b,x?0?(A)ab?11 (B)ab?? (C)ab?0 (D)ab?2 22（2）设二阶可到函数f(x)满足f(1)?f(?1)?1,f(0)??1且 f??(x)?0，则 (A) (B) (C) (D)
??1?11f(x)dx?0 f(x)dx?0 f(x)dx??f(x)dx
01?20???11?1f(x)dx??f(x)dx
01（3）设数列?xn?收敛，则
(A)当limsinxn?0时，limxn?0
n??n??(B)当limxn(xn?n??xn)?0 时，则limxn?0
n??(C)当lim(xn?xn)?0,
n??n??2lim?0
n??(D)当lim(xn?sinxn)?0时，limxn?0
n??2xk（4）微分方程y???4y??8y?e(1?cos2x) 的特解可设为y?
(A)Ae2x?e2x(Bcos2x?Csin2x) ?e2x(Bcos2x?Csin2x)
(B)Axe(C)Ae2x2x?xe2x(Bcos2x?Csin2x) ?xe2x(Bcos2x?Csin2x)
(D)Axe2x（5）设f(x)具有一阶偏导数，且在任意的(x,y)，都有
?f(x,y)?f(x,y)?0,则 ?x?y - 6 -
(A)f(0,0)?f(1,1) (B)f(0,0)?f(1,1) (C)f(0,1)?f(1,0) (D)f(0,1)?f(1,0)
（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m）处,图中，实线表示甲的速度曲线v?v1?t? （单位:m/s）虚线表示乙的速度曲线v?v2?t?，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0（单位:s）,则 (A)t0?10 (B)15?t0?20 (C)t0?25 (D)t0?25
v(m/s)1020051015202530t(s)
?000????1（7）设A为三阶矩阵，P?(?1,?2,?3)为可逆矩阵，使得 PAP?010????002??A(?1,?2,?3)?
(A)?1??2 (B)?2?2?3 (C)?2??3 (D)?1?2?2
，则
?200??210??100???????（8）已知矩阵A?021，B?020，C?020，则 ??????????001???001???000??(A) A与C相似，B与C相似
(B) A与C相似，B与C不相似 (C) A与C不相似，B与C相似 (D) A与C不相似，B与C不相似
- 7 -
二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.
（9）曲线y?x1?arcsinx的斜渐近线方程为
?2??x?t?etd2y（10）设函数y?y(x)由参数方程?确定，则
dx2?y?sint（11）
t?0
???ln(1?x)0?1?x?2dx = （12）设函数fx,y具有一阶连续偏导数，且
??df?x,y??yeydx?x?1?y?eydy,f?0,0??0，则f?x,y?=
（13）
?10dy?1tanxyxdx?
?41?2??1?????（14）设矩阵A??12a?的一个特征向量为?1?，则a?
?31?1??2?????
三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）
求lim?x?0?x0x?tetdtx3
（16）（本题满分10分）
dy设函数f?u,v?具有2阶连续性偏导数，y?fe,cosx,求
dx?x?d2y,2dxx?0
x?0
（17）（本题满分10分）
求lim?kk?ln1??? n???n2n??k?1n（18）（本题满分10分）
已知函数错误!未找到引用源。由方程错误!未找到引用源。确定，求错误!未找到引用源。的极值 （19）（本题满分10分）
f(x)在?0,1?上具有2阶导数，f(1)?0,lim?x?0f(x)?0，证明 x（1）方程f(x)?0在区间(0,1)至少存在一个根
- 8 -
2（2）方程f(x)?f??(x)??f?(x)??0 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根 （20）（本题满分11分）
已知平面区域D???x,y?x2?y2?2y，计算二重积分???x?1?dxdy
2?D（21）（本题满分11分）
设y(x)是区间(0,)内的可导函数，且y(1)?0，点P是曲线L:y?y(x)上的任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点(0,YP)，法线与x轴相交于点(XP,0)，若Xp?YP ，求L上点的坐标(x,y)满足的方程。 （22）（本题满分11分）
三阶行列式A?(?1,?2,?3)有3个不同的特征值，且?3??1?2?2 （1）证明r(A)?2
（2）如果???1??2??3求方程组Ax?b 的通解
（23）（本题满分11分）
设f(x1,x2,x3)?2x1?x2?ax3?2x1x2?8x1x3?2x2x3在正交变换x?Qy下的标准
22型为?1y1??2y2 求a的值及一个正交矩阵Q.
32222
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2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、 选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合要求的.
（1） 设a1?x(cosx?1)，a2?xln(1?3x)，a3?3x?1?1.当x?0?时，以
上3个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是
（A）a1,a2,a3. （B）a2,a3,a1. （C）a2,a1,a3. （D）a3,a2,a1.
（2）已知函数f(x)???2(x?1),x?1,则f(x)的一个原函数是 x?1,?lnx,?(x?1)2,x?1.?(x?1)2,x?1.（A）F(x)??（B）F(x)??
x(lnx?1),x?1.x(lnx?1)?1,x?1.???(x?1)2,?(x?1)2,x?1.x?1.（C）F(x)??（D）F(x)??
?x(lnx?1)?1,x?1.?x(lnx?1)?1,x?1.1+?111exdx，②?exdx的敛散性为 （3）反常积分①?22??x0x0（A）①收敛，②收敛.（B）①收敛，②发散. （C）①收敛，②收敛.（D）①收敛，②发散.
（4）设函数f(x)在(??,??)内连续，求导函数的图形如图所示，则 （A）函数f(x)有2个极值点，曲线y?f(x)有2个拐点. （B）函数f(x)有2个极值点，曲线y?f(x)有3个拐点. （C）函数f(x)有3个极值点，曲线y?f(x)有1个拐点. （D）函数f(x)有3个极值点，曲线y?f(x)有2个拐点.
（5）设函数fi(x)(i?1,2)具有二阶连续导数，且fi(x0)?0(i?1,2)，若两条曲线
y?fi(x)(i?1,2)在点(x0,y0)处具有公切线y?g(x)，且在该点处曲线y?f1(x)的曲率
大于曲线y?f2(x)的曲率，则在x0的某个领域内，有
- 10 -
（A）f1(x)?f2(x)?g(x) （B）f2(x)?f1(x)?g(x) （C）f1(x)?g(x)?f2(x) （D）f2(x)?g(x)?f1(x)
ex（6）已知函数f(x,y)?，则
x?y（A）fx?fy?0 （B）fx?fy?0 （C）fx?fy?f （D）fx?fy?f
（7）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是 （A）A与B相似 （B）A与B相似 （C）A?A与B?B相似 （D）A?A与B?B相似
222（8）设二次型f(x1,x2,x3)?a(x1?x2?x3)?2x1x2?2x2x3?2x1x3的正、负惯性指数分
''''''''TT?1?1TT?1?1别为1,2，则
（A）a?1 （B）a??2 （C）?2?a?1
（D）a?1与a??2
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
x32?arctan(1?x)的斜渐近线方程为____________. （9）曲线y?21?x
（10）极限lim
（11）以y?x?e和y?x为特解的一阶非齐次线性微分方程为____________.
2x2112n(sin?2sin?L?nsin)?____________.
n??n2nnn - 11 -
（12）已知函数f(x)在(??,??)上连续，且f(x)?(x?1)?22?x0f(t)dt，则当n?2时，
f(n)(0)?____________.
（13）已知动点P在曲线y?x上运动，记坐标原点与点P间的距离为l.若点P的横坐标
时间的变化率为常数v0，则当点P运动到点(1,1)时，l对时间的变化率是_______.
3?a?1?1??110?????（14）设矩阵?1a?1与0?11等价，则a?_________. ???????1?1a????101??解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分） （16）（本题满分10分）
设函数f(x)??10t2?x2dt(x?0)，求f'(x)并求f(x)的最小值.
（17）（本题满分10分）
已知函数z?z(x,y)由方程(x?y)z?lnz?2(x?y?1)?0确定，求z?z(x,y) 的极值. （18）（本题满分10分）
22x2?xy?y2设D是由直线y?1，y?x，y??x围成的有界区域，计算二重积分??dxdy. 22x?yD
（19）（本题满分10分）
xx已知y1(x)?e，y2(x)?u(x)e是二阶微分方程(2x?1)y?(2x?1)y'?2y?0的解，若
nu(?1)?e，u(0)??1，求u(x)，并写出该微分方程的通解。
（20）（本题满分11分）
3????x?cost?设D是由曲线y?1?x(0?x?1)与?求D绕x0?t??围成的平面区域，3?2???y?sint?2轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。
（21）（本题满分11分）
3?3?cosx的一个原函数f(0)?0。 ]上连续，在(0,)内是函数
222x?3?3?（Ⅰ）求f(x)在区间[0,]上的平均值；
2已知f(x)在[0, - 12 -
（Ⅱ）证明f(x)在区间(0,
（22）（本题满分11分）
3?)内存在唯一零点。 211?a??1?0?????0a?，???1设矩阵A??1?，且方程组Ax??无解。
?a?11a?1??2a?2?????（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求方程组AAx?A?的通解。
（23）（本题满分11分）
TT?0?11???已知矩阵A??2?30?
?000???（Ⅰ）求A
99（Ⅱ）设3阶矩阵B?(?1,?2,?3)满足B2?BA。记B100?(?1,?2,?3)，将?1,?2,?3分
别表示为?1,?2,?3的线性组合。
- 13 -
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．(1)下列反常积分中收敛的是（）
??（A）
?21dx （B）xx2t???2lnxdx (C)x???21dx (D)xlnx???2xdx xe(2)函数f(x)?lim(1?t?0sint)在(??,??)内（） x（A）连续 （B）有可去间断点 （C）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点
1??xcos,x?0??(??0,??0)，若f(x)在x?0处连续，则（） (3)设函数f(x)??x?0,x?0?（A）????1 (B)0?????1 (C)????2 (D)0?????2
(4) 设函数f(x)在(??,??)连续，其二阶导函数f??(x)的图形如右图所示，则曲线
y?f(x)的拐点个数为（）
（A）0 (B)1 (C)2 (D)3
(5).设函数f(u，v)满足f(x?y,)?x2?y2，则
yx?f?f与?uu?1?vv?1依次是（）
u?1v?1（A）
1111,0 (B)0，（C）-,0 (D)0 ,- 2222(6). 设D是第一象限中曲线2xy?1,4xy?1与直线y?x,y?3x围成的平面区域，函数
f(x,y)在D上连续，则??f(x,y)dxdy=（）
D?2?d???（A）
41sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)dr（B）
???d??241sin2?12sin2?1sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)dr
?（C）
??d??341sin2?12sin2??f(rcos?,rsin?)dr（D）??3d??4f(rcos?,rsin?)dr
?111??1?????(7)．设矩阵A=?12a?，b=?d?,若集合Ω=?1,2?，则线性方程组Ax?b有无穷多个
?14a2??d2?????
- 14 -
解的充分必要条件为（）
（A）a??,d?? (B)a??,d?? (C)a??,d?? (D) a??,d??
222(8)设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x?Py下的标准形为2y1?y2?y3,其中
P=(e1,e2,e3)，若Q?(e1,?e3,e2)，则f(x1,x2,x3)在正交变换x?Py下的标准形为（ ）
222222222222(A):2y1?y2?y3 (B) 2y1?y2?y3 (C) 2y1?y2?y3 (D) 2y1?y2?y3
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
?x?arctantd2y,则2? (9) 设?3dxt?1?y?3t?t2x（10）函数f(x)?x2在x?0处的n 阶导数f(n)(0)?
（11）设函数f(x)连续，?(x)??x20''xf(t)dt,若?(1)?1，?'(1)?5，则f(1)?
'（12）设函数y?y(x)是微分方程y?y?2y?0的解，且在x?0处y(x)取值3，则y(x)= （13）若函数z?z(x,y)由方程ex?2y?3z?xyz?1确定，则dz(0,0)=
2（14）设3阶矩阵A的特征值为2，-2,1，B?A?A?E，其中E为3阶单位矩阵，则行列式B=
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）
设函数f(x)?x??ln(1?x)?bxsinx，g(x)?kx，若f(x)与g(x)在x?0是等价无穷小，求a,b,k的值。 16、（本题满分10分）
设A?0，D是由曲线段y?Asinx(0?x?2?2)及直线y?o,x??2所形成的平面区域，
V1，V2分别表示D绕X轴与绕Y轴旋转所成旋转体的体积，若V1?V2，求A的值。
17、（本题满分10分）
??(x,y)?2(y?1)ex，fx?(x,0)?(x?1)ex，f(0,y)??2y,求已知函数f(x,y)满足fxy - 15 -
f(x,y)的极值。
18、（本题满分10分） 计算二重积分
??x(x?y)dxdy，其中D??(x,y)xD2?y2?2,y?x2。
? 19、（本题满分10分） 已知函数f(x)??1x1?tdt??2x211?tdt，求f(x)零点的个数。
20、（本题满分11分）
已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的关系的变化与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120C的物体在20C恒温介质中冷却，30min后该物体温度降至30C，若要使物体的温度继续降至21C，还需冷却多长时间？ 21、（本题满分11分）
已知函数f(x)在区间?a,???上具有2阶导数，f(a)?0,f?(x)?0,设b?a,曲线
0
0
0
0y?f(x)在点(b,f(b))处的切线与X轴的交点是(x0,0)，证明：a?x0?b。
22、（本题满分11分）
?a10???3设矩阵A??1a?1?,且A?0，（1）求a的值；（2）若矩阵X满足
???01a?X?XA2?AX?AXA2?Z,其中Z为3阶单位矩阵，求X。
23、（本题满分11分）
?02?3??1?20?????设矩阵A???13?3?，相似于矩阵B??0b0?，
?1?2a??031?????（1）求a,b的值（2）求可逆矩阵P，使PAP为对角矩阵。
?1 - 16 -
- 17 -
- 18 -
- 19 -
2013
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．设cosx?1?xsin?(x),?(x)??2，当x?0时，??x? （ ）
（A）比x高阶的无穷小 （B）比x低阶的无穷小 （C）与x同阶但不等价无穷小 （D）与x等价无穷小
2．已知y?f?x?是由方程cos?xy??lny?x?1确定，则lim??2??n??n???f??n???1????（（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2
３．设f(x)???sinx,x?[0,?)?2,x?[?,2?]，F(x)??x0f(t)dt则（ ）
（Ａ）x??为F(x)的跳跃间断点． （Ｂ）x??为F(x)的可去间断点．（Ｃ）F(x)在x??连续但不可导． （Ｄ）F(x)在x??可导．
- 20 -
）
1?,1?x?e??1???(x?1)?４．设函数f(x)??，且反常积分?f?x?dx收敛，则（ ）
?1,x?e??1??xlnx（A）???2 （B）a?2 （C）?2?a?0 （D）0???2 ５．设函数z?x?z?zy??（ ） f?xy?，其中f可微，则
y?x?yx22f(xy) （D）?f(xy) xx(x,y)|x2?y2?1?的第k象限的部分，记Ik???(y?x)dxdy，则6．设Dk是圆域D??（A）2yf'(xy) （B）?2yf'(xy)（C）
Dk（ ）
（A）I1?0 （B）I2?0 （C）I3?0 （D）I4?0 7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价． （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价． （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价． （D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．
?1a1??200?????8．矩阵?aba?与矩阵?0b0?相似的充分必要条件是
?1a1??000?????（A）a?0,b?2 （B）a?0，b为任意常数 （C）a?2,b?0 （D）a?2，b为任意常数
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9． lim?2??x?0?ln(1?x)??? ． x?1x10．设函数f(x)??x?11?etdt，则y?f(x)的反函数x?f?1(y)在y?0处的导数
dx|y?0? ． dy11．设封闭曲线L的极坐标方程为r?cos3???图形的面积为 ．
????????t为参数，则L所围成的平面
6??6 - 21 -
??x?arctant12．曲线上?对应于t?1处的法线方程为 ．
2??y?ln1?t3x2xx2x2x13．已知y1?e?xe,y2?e?xe,y3??xe是某个二阶常系数线性微分方程三个
解，则满足
y(0)?0,y'(0)?1方程的解为 ．
14．设A?aij是三阶非零矩阵，A为其行列式，Aij为元素aij的代数余子式，且满足
??Aij?aij?0(i,j?1,2,3)，则A= ．
三、解答题
15．（本题满分10分）
当x?0时，1?cosxcos2xcos3x与ax是等价无穷小，求常数a,n． 16．（本题满分10分） 设D是由曲线y?3nVx,Vy分别是D绕xx，直线x?a(a?0)及x轴所转成的平面图形，
轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若10Vx?Vy，求a的值． 17．（本题满分10分）
设平面区域D是由曲线x?3y,y?3x,x?y?8所围成，求18．（本题满分10分）
设奇函数f(x)在??1,1?上具有二阶导数，且f(1)?1，证明： （1）存在??(0,1)，使得f'????1；
（2）存在??(?1,1)，使得f??(?)?f?(?)?1． 19．（本题满分10分）
求曲线x?xy?y?1(x?0,y?0)上的点到坐标原点的最长距离和最短距离． 20．（本题满分11） 设函数f(x)?lnx?332x??dxdy． D1 x⑴求f(x)的最小值； ⑵设数列?xn?满足lnxn?21．（本题满分11） 设曲线L的方程为
1xn?1?1，证明极限limxn存在，并求此极限．
n??y?121x?lnx(1?x?e)． 42- 22 -
（1）求L的弧长．
（2）设D是由曲线L，直线x?1,x?e及x轴所围成的平面图形，求D的形心的横坐标． 22．本题满分11分）
?1a??01?设A???10??,B???1b??，问当a,b为何值时，存在矩阵C，使得AC?CA?B，并求
????出所有矩阵C．
23（本题满分11分） 设
二
次
型
f(x1,x2,x3)?2(a1x1?a2x2?a3x3)2?(b1x1?b2x2?b3x3)2．记
?a1??b1????????a2?,???b2?．
?a??b??3??3?（1）证明二次型f对应的矩阵为 2?????；
（2）若?,?正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为 2y1?y2．
22TT
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．(1)
曲
线
x2?xy?2x?1的渐近线条数
( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(2) 设函数f(x)?(ex?1)(e2x?2)L(enx?n)，其中n为正整数,则f?(0)? ( )
(A) (?1)n?1(n?1)! (B) (?1)n(n?1)! (C) (?1)n?1n! (D) (?1)nn!
(3) 设an?0(n?1,2,3L),Sn?a1?a2?a3?L?an，则数列?Sn?有界是数列?an?收敛的
( )
(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要
k?2(4) 设Ik??exsinxdx,(k?1,2,3),则有
0 - 23 -
( )
(A) I1?I2?I3 (B) I3?I2?I1 (C) I2?I3?I1 (D) I2?I1?I3 (5) 设函数f(x,y）为可微函数，且对任意的x,y都有
?(x,y)?(x,y)?0,?0,则使不等式?x?yf(x1,y1)?f(x2,y2)成立的一个充分条件是
(
)
(A) x1?x2,y1?y2 (B) x1?x2,y1?y2 (C) x1?x2,y1?y2 (D) x1?x2,y1?y2 (6) 设区域D由曲线y?sinx,x???2,y?1围成，则??(x5y?1)dxdy?
D
( )
(A) ? (B) 2 (C) -2 (D) -?
?0??0??1???1????????? (7) 设α1??0?,α2??1? ,α3???1? ,α4??1? ,其中c1,c2,c3,c4为任意常数，则下列向?c??c??c??c??3??4??1??2?量
( )
组
线
性
相
关
的
为
(A)α1,α2,α3 (B) α1,α2,α4 (C)α1,α3,α4 (D)α2,α3,α4
?100???(8) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P?1AP??010?.若P??α1,α2,α3?，?002???Q??α1?α2,α2,α3?( )
则
Q?1AQ?
?100?
??(A) ?020? (B) ?001????100?
?? (C) 010???002????200??200??? (D)?? 010020?????002??001?????
二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
- 24 -
d2y(9) 设y?y(x)是由方程x?y?1?e所确定的隐函数，则2dx2yx?0? .
(10)limn? ?2?L?2?222?n??1?n2?nn?n?? . (11) 设z?f?lnx??111????z1?2?zx?y? . ,fu??可微，则?其中函数
?x?yy?(12) 微分方程ydx?x?3y?2?dy?0满足条件yx?1?1的解为y? .
(13) 曲线y?x?x?x?0?上曲率为
22的点的坐标是 . 2(14) 设A为3阶矩阵，A=3，A*为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则
BA*? .
三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证．．．明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)
已知函数f?x??(I)求a的值;
(II)若x?0时，f?x??a与x是同阶无穷小，求常数k的值.
k1?x1?，记a?limf?x?，
x?0sinxx(16)(本题满分 10 分)
求函数f?x,y??xe?x2?y22的极值.
(17)(本题满分12分)
过(0,1)点作曲线L:y?lnx的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成,求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
(18)(本题满分 10 分)
计算二重积分
??xyd?，其中区域D为曲线r?1?cos??0?????与极轴围成.
D(19)(本题满分10分)
已知函数f(x)满足方程f??(x)?f?(x)?2f(x)?0及f??(x)?f(x)?2ex, (I) 求f(x)的表达式;
(II) 求曲线y?f(x2)?f(?t2)dt的拐点.
0x(20)(本题满分10分)
1?xx2 证明xln?cosx?1?,(?1?x?1).
1?x2(21)(本题满分10 分)
- 25 -
(I)证明方程xn+xn-1?L?x?1n?1的整数，在区间?(II)记(I)中的实根为xn，证明limxn存在，并求此极限.
n?????1?,1?内有且仅有一个实根； ?2?(22)(本题满分11 分)
?1?0设A???0??aa00??1????1a0??1，????
?0?01a????001??0?(I) 计算行列式A；
(II) 当实数a为何值时，方程组Ax??有无穷多解，并求其通解.
(23)(本题满分11 分)
?101???011?，二次型f?x,x,x??xT?ATA?x的秩为2， 已知A??123??10a???0a?1??(I) 求实数a的值；
(II) 求正交变换x?Qy将f化为标准形.
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
(A) 选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 ．．．
（1）已知当x?0时，函数f(x)?3sinx?sin3x与cx是等价无穷小，则（ ）
（A）k?1,c?4 （B）k?1,c??4 （C）k?3,c?4 （D）k?3,c??4
kx2f(x)?2f(x3)?（ ） （2）设函数f(x)在x?0处可导，且f(0)?0，则lim3x?0x（A）?2f?(0) （B）?f?(0) （C）f?(0) （D）0 （3）函数f(x)?ln(x?1)(x?2)(x?3)的驻点个数为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （4）微分方程y????y?e2?x?e??x(??0)的特解形式为（ ）
- 26 -
（A）a(e?x?e??x) （B）ax(e?x?e??x) ?be??x) （D）x2(ae?x?be??x)
（C）x(ae?x（5）设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)?0，g(0)?0，f?(0)?g?(0)?0则函数z?f(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ） （A）f??(0)?0，g??(0)?0 （B）f??(0)?0，g??(0)?0 （C）f??(0)?0，g??(0)?0 （D）f??(0)?0，g??(0)?0
??40?0（6）设I??40lnsinxdx，J??lncotxdx，K??4lncosxdx，则I，J，K的大小关
系为（ ）
（A）I?J?K （B）I?K?J （C）J?I?K （D）K?J?I
（7）设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行
?100??100??????110P?001得单位矩阵。记P，????，则A=（ ） 12?001??010????? （A）P1P2 （C）P1 1P2 （B）P2P1 （D）P2P?1?1,0,1,0)是方程组Ax?0（8）设A?(?1,?2,?3,?4)是4阶矩阵，A为A的伴随矩阵。若(1 的一个基础解系，则Ax?0的基础解系可为（ ）
（A）?1,?3 （B）?1,?2 （C）?1,?2,?3 （D）?2,?3,?4 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸指定位置上。 ．．．（9）lim??**T?1?2x?0?2x???? 。 ?'?x1x（10）微分方程y?y?e（11）曲线y?cosx满足条件y(0)?0的解为y? 。
?x0tantdt (0?x??4)的弧长s? 。
????e?kx,x?0,（12）设函数f(x)?? ??0，则?xf(x)dx? 。
??x?0,?0,（13）设平面区域D由直线y?x，圆x?y?2y及y轴所围成，则二重积分
- 27 -
22
??xyd?? 。
D222（14）二次型f(x1,x2,x3)?x1?3x2?x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3，则f的正惯性指数
为 。
三、解答题：15～23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应字说明、 ．．．
证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分10分） 已知函数F(x)?
（16）（本题满分11分）
?x0ln(1?t2)dtx?，设limF(x)?lim?F(x)?0，试求?的取值范围。
x???x?0131?x?t?t?,??33 设函数y?y(x)由参数方程? 确定，求y?y(x)的极值和曲线?y?1t3?t?1?33?y?y(x)的凹凸区间及拐点。
（17）（本题满分9分）
设函数z?f(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在
?2zx?1处取得极值g(1)?1，求
?x?y
（18）（本题满分10分）
。
x?1,y?1 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y?y(x)与直线y?x相切于原点，记?为曲
线l在点(x,y)处切线的倾角，若
（19）（本题满分10分）
（I）证明：对任意的正整数n，都有
d?dy?，求y(x)的表达式。 dxdx1?1?1?ln?1???成立。 n?1?n?n （II）设an?1?
11????lnn(n?1,2,?)，证明数列?an?收敛。 2n- 28 -
（20）（本题满分11分）
一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由
11x2?y2?2y(y?)与x2?y2?1(y?)连接而成。
22 （I）求容器的容积；
（II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？
（长度单位：m，重力加速度为gms，水的密度为10kgm）
（21）（本题满分11分）
已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)?0，f(x,1)?0，
233??f(x,y)dxdy?aDD，其中D?(x,y)0?x?1,0?y?1，计算二重积分
????(x,y)dxdy。 I???xyfxy
（22）（本题满分11分）
TTTT 设向量组?1?(1,0,1)，?2?(0,1,1)，?3?(1,3,5)不能由向量组?1?(1,1,1)，
?2?(1,2,3)T，?3?(3,4,a)T线性表示。
（I）求a的值；
（II）将?1,?2,?3用?1,?2,?3线性表示。
（23）（本题满分11分）
?11???11?????0???00?。 设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且A?0??11??11????? （I）求A的所有的特征值与特征向量； （II）求矩阵A。
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一选择题
x2?x11?2的无穷间断点的个数为 (A) 函数f(x)?2x?1x - 29 -
A0 B1 C2 D3
2.设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y??p(x)y?q(x)的两个特解，若常数?,?使
?y1??y2是该方程的解，?y1??y2是该方程对应的齐次方程的解，则
1111,?? B???,??? 22222122C??,?? D??,??
3333A??(1) 曲线y?x与曲线y?alnx(a?0)相切，则a? A4e B3e C2e De 4.设m,n为正整数,则反常积分
2?1mln2(1?x)n0xdx的收敛性
A仅与m取值有关 B仅与n取值有关 C与m,n取值都有关 D与m,n取值都无关
5.设函数z?z(x,y)由方程F(,)?0确定,其中F为可微函数,且F2??0,则xAx 6.(4)lim
nnyzxx?z?z?y= ?x?y Bz C?x D?z
n= ??22x??(n?i)(n?j)i?1j?1x1x11 Bdxdy dy2??00(1?x)(1?y)(1?x)(1?y)A
?10dx?0C
?10dx?1dy
0(1?x)(1?y)1D
?10dx?1dy0(1?x)(1?y2)
1?，?s线性表示，下列命题正确的是： 7.设向量组I:?1,?2,?，?r可由向量组II：?1，?2，A若向量组I线性无关，则r?s B若向量组I线性相关，则r>s
C若向量组II线性无关，则r?s D若向量组II线性相关，则r>s
?1???12? 15.设A为4阶对称矩阵,且A?A?0,若A的秩为3,则A相似于A???1??0???1???1???1???????11?1?C?? ? D?B????1??1??1????????0? ?0?0???二填空题
- 30 -
9.3阶常系数线性齐次微分方程y????2y???y??2y?0的通解y=__________
2x3(1) 曲线y?2的渐近线方程为_______________
x?1(2) 函数y?ln(1?2x)在x?0处的n阶导数y?(n)(0)?__________
(3) 当0????时，对数螺线r?e的弧长为___________
(4) 已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当l=12cm,w=5cm时，它的对角线增加的速率为___________
(5) 设A，B为3阶矩阵，且A?3,B?2,A?1?B?2,则A?B?1?__________ 三解答题
(6) 求函数f(x)?16.(1)比较
?x21(x2?t)e?tdt的单调区间与极值。
102?10lnt[ln(1?t)]ndt与?tnlntdt(n?1,2,L)的大小,说明理由.
(2)记un??10lnt[ln(1?t)]ndt(n?1,2,L),求极限limun.x??
?x?2t?t,5(t??1)所确定，其中?(t)具有2阶导数，且?(1)?，?2?y??(t),d2y3??(1)?6，已知2?,求函数?(t)。 dx4(1?t)十、一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当
设函数y=f(x)由参数方程
九、23b油罐中油面高度为2时，计算油的质量。
（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为十一、
?kg/m3）
?2u?2u?2u设函数u?f(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式42?12?52?0.?x?x?y?y?2u确定a,b的值，使等式在变换??x?ay,??x?by下简化?0????
计算二重积分I???r2sin?1?r2cos2?drd?,其中D?｛(r,?)0?r?sec?,0???}.4十二、D
?1十三、设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=3,证明：存在
- 31 -
??(0,),??(,1),使得f?(?)?f?(?)??2??2.十四、
1212
???设A??0?1?1??111??a????0?,b??1?.已知线性方程组Ax?b存在2个不同的解。?1??????（1）求?、a.(2)求方程组Ax?b的通解。?0?14???T23.设A???13a?，正交矩阵Q使得QAQ为对角矩阵，若Q的第一列为
?4a0???1(1,2,1)T，求a、Q. 6
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
x?x3（1）函数f?x??的可去间断点的个数，则（ ）
sinnx?A?1.
?B?2. ?C?3.
2?D?无穷多个.
（2）当x?0时，f?x??x?sinax与g?x??xln?1?bx?是等价无穷小，则（ ）
?A?a?1,b??1. 6?B?a?1,b?111. ?C?a??1,b??. ?D?a??1,b?. 666（3）设函数z?f?x,y?的全微分为dz?xdx?ydy，则点?0,0?（ ）
?A?不是f?x,y?的连续点. ?B?不是f?x,y?的极值点. ?C?是f?x,y?的极大值点. ?D?是f?x,y?的极小值点.
（4）设函数f?x,y?连续，则
?dx?f?x,y?dy??1x2221dy?4?yyf?x,y?dx?（ ）
?A??12dx?4?x1f?x,y?dy.
?B??12dx?4?xxf?x,y?dy.
- 32 -
?C??1dy?124?yf?x,y?dx.
?D?.?dy?f?x,y?dx
1y2222（5）若f???x?不变号，且曲线y?f?x?在点?1,1?上的曲率圆为x?y?2，则f?x?在
区间?1,2?内（ ）
?A?有极值点，无零点. ?B?无极值点，有零点. ?C?有极值点，有零点. ?D?无极值点，无零点.
（6）设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为：
f(x)O 0 -1 x-2 1 2 3 x
则函数F?x???f?t?dt的图形为（ ）
0f(x)1 0 -1 f(x)1 -2 1 2 3 x
?B?.
-2 -1 0 1 2 3 x
?A?.
f(x)1 0 f(x)1 -1 1 2 3 x
-2 0 -1 1 2 3 x
?C?.?D?.
- 33 -
（7）设A、B均为2阶矩阵，A，B分别为A、B的伴随矩阵。若A=2，B=3，则分
**块矩阵??0?BA??的伴随矩阵为（ ） 0?
?03B*??A?.?*?
2A0???0.C???*?2B3A*?? 0??0?B?.?*?3A?0.D???*?3B2B*?? 0?2A*?? 0?
?100???TT（8）设A，P均为3阶矩阵，P为P的转置矩阵，且PAP=?010?，若
?002???TP=（?1，?2，?3），Q=（?1+?2，?2，?3），则QAQ为（ ）
?210?
?
110?A?.??? ?002????200?
?
010?C?.??? ?002???
?110?
?
120?B?.??? ?002????100?
?
020?D?.??? ?002???
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
1-t?u2?x=??0edu在（9）曲线?处的切线方程为 （0，0）?y?t2ln(2?t2)?（10）已知
+?kx???edx?1,则k?
（11）lim1?xesinnxdx? n???0yd2y（12）设y?y(x)是由方程xy?e?x?1确定的隐函数，则2dx（13）函数y?x2xx=0= 在区间?01，?上的最小值为 ?200?
??TTT(14)设?，?为3维列向量，?为?的转置，若矩阵??相似于?000?，则??=
?000???
- 34 -
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）求极限limx?0?1?cosx??x?ln(1?tanx)?sinx4
（16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1??1?x)dx (x?0) x（17）（本题满分10分）设z?f?x?y,x?y,xy?，其中f具有2阶连续偏导数，求dz与
?2z ?x?y
（18）（本题满分10分）
设非负函数y?y?x???x?0?满足微分方程xy???y??2?0，当曲线y?y?x??过原点时，其与直线x?1及y?0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。
（19）（本题满分10分）求二重积分其中D????x?y?dxdy，
D??x,y??x?1???y?1?22?2,y?x
?
（20）（本题满分12分）
（-设y?y(x)是区间内过（-?，?）?，）的光滑曲线，当-??x?0时，曲线上任一点
22?处的法线都过原点，当0?x??时，函数y(x)满足y???y?x?0。求y(x)的表达式
（21）（本题满分11分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?可导，则存在
???a,b?，使得f?b??f?a??f?????b?a?（Ⅱ）证明：若函数f?x?在x?0处连续，
f??x??A，则f???0?存在，且f???0??A。 在?0,?????0?内可导，且lim?x?0
- 35 -
?1?1?1???1?????1?，?1??1? （22）（本题满分11分）设A???11?0?4?2???2?????2（Ⅰ）求满足A?2??1,A?3??1的所有向量?2,?3
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量?2,?3，证明：?1,?2,?3线性无关。
（23）（本题满分11分）设二次型f?x1,x2,x3??ax1?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3
222（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值；
22（Ⅱ）若二次型f的规范形为y1?y2，求a的值。
2008年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）设f(x)?x(x?1)(x?2)，则f(x)的零点个数为（ ）
2'?A?0 ?B?1. ?C?2 ?D?3
（2）曲线方程为y?f(x)函数在区间[0,a]上有连续导数，则定积分
?a0aft(x)dx（ ）
?A?曲边梯形ABOD面积. ?B?梯形ABOD面积. ?C?曲边三角形ACD面积. ?D?三角形ACD面积.
x（3）在下列微分方程中，以y?C1e?C2cos2x?C3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）为
通解的是（ ）
?A?y'''?y''?4y'?4y?0 ?C?y'''?y''?4y'?4y?0
?B?y?y?4y?4y?0
''''''
?D?y'''?y''?4y'?4y?0
- 36 -
（5）设函数f(x)在(??,??)内单调有界，?xn?为数列，下列命题正确的是（ ）
?A?若?xn?收敛，则?f(xn)?收敛. ?B?若?xn?单调，则?f(xn)?收敛. ?C?若?f(xn)?收敛，则?xn?收敛.
（6）设函数f连续，若F(u,v)?Duv
?D?若?f(xn)?单调，则?xn?收敛.
2??f(x2?y2)x?y2dxdy，其中区域Duv为图中阴影部分，则
?F? ?uvf(u2) uv?C?vf(u) ?D?f(u)
u?A?vf(u2) ?B?
（7）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵. 若A?0，则（ ）
3?A?E?A不可逆，E?A不可逆. ?C?E?A可逆，E?A可逆.
（8）设A??
?B?E?A不可逆，E?A可逆. ?D?E?A可逆，E?A不可逆.
?12??，则在实数域上与A合同的矩阵为（ ） ?21?
??21??A???.
1?2???21?C????.
?12?
?2?1??B???.
?12???1?2??.
??21? ?D??二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数f(x)连续，且limx?01?cos[xf(x)](e?1)f(x)x2?1，则f(0)?____.
（10）微分方程(y?xe)dx?xdy?0的通解是y?____.
（11）曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????. （12）曲线y?(x?5)x的拐点坐标为______. （13）设z??232?x?z?y?，则??x?x?xy(1,2)?____.
- 37 -
（14）设3阶矩阵A的特征值为2,3,?.若行列式2A??48，则??___.
三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
sinx?sin?sinx??sinx???(15)（本题满分9分）求极限lim. x?0x4
(16)（本题满分10分）
x?x(t)??设函数y?y(x)由参数方程?确定，其中x(t)是初值问题t2y??ln(1?u)du?0??dx?x?2y??2te?0的解.求2. ?dt?x?xt?0?0?
(17)（本题满分9分）求积分
(18)（本题满分11分）
求二重积分
?1xarcsinx1?x20dx.
??max(xy,1)dxdy,其中D?{(x,y)0?x?2,0?y?2}
D
(19)（本题满分11分）
设f(x)是区间?0,???上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)?1.对任意的
t??0,???，直线x?0,x?t，曲线y?f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周
生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式.
(20)（本题满分11分）
(1) 证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点
??[a,b]，使得
?baf(x)dx?f(?)(b?a) (2)若函数?(x)具有二阶导数，且满足
32?(2)??(1),?(2)???(x)dx，证明至少存在一点??(1,3),使得???(?)?0
（21）（本题满分11分）
求函数u?x?y?z在约束条件z?x?y和x?y?z?4下的最大值与最小值.
22222 - 38 -
（22）（本题满分12分）
?2a1?2a2aO?A?设矩阵
?OO?a2?T???，现矩阵A满足方程AX?B，其中1??2a?n?nX??x1,L,xn?，B??1,0,L,0?，
（1）求证A??n?1?an；
（2）a为何值，方程组有唯一解，并求x1； （3）a为何值，方程组有无穷多解，并求通解.
（23）（本题满分10分）
设A为3阶矩阵，?1,?2为A的分别属于特征值?1,1特征向量，向量?3满足
A?3??2??3，
（1）证明?1,?2,?3线性无关； （2）令P???1,?2,?3?，求PAP.
?1
2007年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当x?0时，与 （A）1?ex?x等价的无穷小量是
（B）ln1?x （C）1?x?1 （D）1?cosx [ ]
1?x(ex?e)tanx（2）函数f(x)?在???,??上的第一类间断点是x? [ ] 1??x?ex?e??? （A）0 （B）1 （C）??? （D） 22 - 39 -
（3）如图，连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间??2,0?,?0,2?的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)?则下列结论正确的是：
?x0f(t)dt，
（A）F(3)??35F(?2) (B) F(3)?F(2) 4435（C）F(3)?F(2) （D）F(3)??F(?2) [ ]
44
（4）设函数f(x)在x?0处连续，下列命题错误的是：
f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)?0 （B）若lim存在，则f(0)?0 .
x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x) （C）若lim存在，则f?(0)?0 （D）若lim存在，则f?(0)?0.
x?0x?0xx （A）若lim [ ] （5）曲线y?1?ln?1?ex?的渐近线的条数为 x（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ] （6）设函数f(x)在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0，令un?f(n)，则下列结论正确的是：
(A) 若u1?u2 ，则?un?必收敛. (B) 若u1?u2 ，则?un?必发散
(C) 若u1?u2 ，则?un?必收敛. (D) 若u1?u2 ，则?un?必发散. [ ] （7）二元函数f(x,y)在点?0,0?处可微的一个充要条件是[ ] （A）
(x,y)??0,0?lim?f(x,y)?f(0,0)??0.
（B）limx?0f(x,0)?f(0,0)f(0,y)?f(0,0)?0,且lim?0.
y?0xy - 40 -
（C）
?f(0,0)(x,ylimf(x,y))??0,0?x2?y2?0.
（D）lim?0?fx?(x,0)?fx?(0,0)???0,且lim?y?0?fy?(0,y)?fy?(0,0)???0.
x?（8）设函数f(x,y)连续，则二次积分??1?dx2?sinxf(x,y)dy等于
（A）?110dy????arcsinyf(x,y)dx （B）?dy??0??arcsinyf(x,y)dx
（C）
?1??arcsiny （D）?10dy???arcsiny0dy??f(x,y)dx ?f(x,y)dx
22（9）设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是
线性相关，则 (A) ?1??2,?2??3,?3??1
(B) ?1??2,?2??3,?3??1
(C) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1.
(D) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. [ ?2?1?1??100?（10）设矩阵A????12?1?,B??010?，则A与B ???1?12????
???000??(A) 合同且相似 （B）合同，但不相似.
(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11） limarctanx?sinxx?0x3? __________.
?x?cost?cos2（12）曲线?t?1?sint上对应于t??的点处的法线斜率为_________.
?y4（13）设函数y?12x?3，则y(n)(0)?________. （14） 二阶常系数非齐次微分方程y???4y??3y?2e2x的通解为y?________. （15） 设f(u,v)是二元可微函数，z?f??y,x??xy?，则?x?z?x?y?z?y? __________.
??0100?010?（16）设矩阵A??0??0001??，则A3
的秩为 .
?0000??三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
- 41 -
]
]
（17） (本题满分10分)设f(x)是区间?0,
???
上单调、可导的函数，且满足??4?
?f(x)0f?1(t)dt??t0xcost?sintdt，其中f?1是f的反函数，求f(x).
sint?cost
（18）（本题满分11分） 设D是位于曲线y?xa?x2a(a?1,0?x???)下方、x轴上方的无界区域. （Ⅰ）
求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)；（Ⅱ）当a为何值时，V(a)最小？并求此最小值.
（19）（本题满分10分）求微分方程y??(x?y?)?y?满足初始条件y(1)?y?(1)?1的特解.
（20）（本题满分11分）已知函数f(u)具有二阶导数，且f?(0)?1，函数y?y(x)由方程
2y?xe
y?1dz?1所确定，设z?f?lny?sinx?，求
dxd2zx?0,dx2x?0.
（21） (本题满分11分)设函数f(x),g(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)?g(a),f(b)?g(b)，证明：存在??(a,b)，使得f??(?)?g??(?).
?x2,|x|?|y|?1?1（22） (本题满分11分) 设二元函数f(x,y)??，计算二重积
,1?|x|?|y|?2?x2?y2?分
??f(x,y)d?，其中D???x,y?|x|?|y|?2?.
D
（23） (本题满分11分)
?x1?x2?x3?0?设线性方程组?x1?2x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1有公共解，求a的值及
?2?x1?4x2?ax3?0所有公共解.
（24） (本题满分11分)
T设三阶对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2，?1?(1,?1,1)是A的属于
- 42 -
?1的一个特征向量，记B?A5?4A3?E，其中E为3阶单位矩阵.
（I）验证?1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （II）求矩阵B.
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）曲线y?x?4sinx 的水平渐近线方程为
5x?2cosx?1x2?3?0sintdt,x?0（2）设函数f(x)??x在x?0处连续，则a? .
??a, x?0（3）广义积分
???0xdx? . (1?x2)2（4）微分方程y??y(1?x)的通解是 xy（5）设函数y?y(x)由方程y?1?xe确定，则
dydxx?0? ?21?（6）设矩阵A???，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则
?12?? B? .
二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则[ ]
(A) 0?dy??y. (B) 0??y?dy.
(C) ?y?dy?0. (D) dy??y?0 .
（8）设f(x)是奇函数，除x?0外处处连续，x?0是其第一类间断点，则
（A）连续的奇函数. （C）在x?0间断的奇函数
- 43 -
?x0f(t)dt是
（B）连续的偶函数
（D）在x?0间断的偶函数. [ ]
（9）设函数g(x)可微，h(x)?e
（A）ln3?1. （C）?ln2?1.
1?g(x),h?(1)?1,g?(1)?2，则g(1)等于
（B）?ln3?1. （D）ln2?1.
[ ]
x?2xx（10）函数y?C1e?C2e?xe满足的一个微分方程是
（A）y???y??2y?3xe.
x（C）y???y??2y?3xe.
x
?40
1（B）y???y??2y?3e.
x（D）y???y??2y?3e. [ ]
x（11）设f(x,y)为连续函数，则
221?x2?d??f(rcos?,rsin?)rdr等于
022（Ａ）
?0dx?xf(x,y)dy. （B）?f(x,y)dx. (D)
0dx?1?x20f(x,y)dy.
(C)
?220dy?1?y2y?220dy?1?y20f(x,y)dx . [ ]
（12）设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是 [ ]
(A) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (B) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (C) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.
(D) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. （13）设?1,?2,L,?s均为n维列向量，A为m?n矩阵，下列选项正确的是 [ ]
16.若?1,?2,L,?s线性相关，则A?1,A?2,L,A?s线性相关. 17.若?1,?2,L,?s线性相关，则A?1,A?2,L,A?s线性无关. (C) 若?1,?2,L,?s线性无关，则A?1,A?2,L,A?s线性相关.
(D) 若?1,?2,L,?s线性无关，则A?1,A?2,L,A?s线性无关. （14）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第2
?110???列得C，记P??010?，则
?001???
- 44 -
（Ａ）C?PAP. （Ｂ）C?PAP.
（Ｃ）C?PAP. （Ｄ）C?PAP. ［ ］ 三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 试确定A,B,C的值，使得e(1?Bx?Cx)?1?Ax?o(x)，其中o(x)是当x?0时比x高阶的无穷小.
3x233?1?1TTarcsinexdx. （16）（本题满分10分）求 ?xe
（17）（本题满分10分）设区域D?(x,y)x?y?1,x?0， 计算二重积分
?22?1?xydxdy. 22??1?x?yD
（18）（本题满分12分）设数列?xn?满足0?x1??,xn?1?sinxn(n?1,2,L)
1?xn?1?xn2（Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；（Ⅱ）计算lim??. n??n???xn?
（19）（本题满分10分）
证明：当0?a?b??时，
bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a.
（20）（本题满分12分）
设函数f(u)在(0,??)内具有二阶导数，且z?f（I）验证f??(u)??x?y22??2z?2z满足等式2?2?0.
?x?yf?(u)?0； u（II）若f(1)?0,f?(1)?1，求函数f(u)的表达式.
（21）（本题满分12分）
?x?t2?1已知曲线L的方程?2?y?4t?t,(t?0)（I）讨论L的凹凸性；（II）过点(?1,0)引L
- 45 -
的切线，求切点(x0,y0)，并写出切线的方程；（III）求此切线与L（对应于x?x0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积.
（22）（本题满分9分）
已知非齐次线性方程组
?x1?x2?x3?x4??1??4x1?3x2?5x3?x4??1有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A?ax?x?3x?bx?134?12的秩r?A??2；（Ⅱ）求a,b的值及方程组的通解.
（23）（本题满分9分）
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?是线性方程组Ax?0的两个解.
(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ) 求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得QAQ??.
TTT2005年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设y?(1?sinx)，则dyxx?? = .
（2）曲线y?(1?x)xxdx232的斜渐近线方程为 .
（3）
?(2?x01)1?x2? .
19（4）微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??的解为 . 2（5）当x?0时，?(x)?kx与?(x)?1?xarcsinx?cosx是等价无穷小，则
k= .
（6）设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵
A?(?1,?2,?3)，B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)，
- 46 -
如果A?1，那么B? .
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数f(x)?limn1?xn??3n，则f(x)在(??,??)内
(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.
(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]
（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，\M?N\表示“M的充分必要条件是N”，则必有
(D) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数.
(C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数.
(D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ ]
?x?t2?2t,（9）设函数y=y(x)由参数方程?确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交
?y?ln(1?t)点的横坐标是
11ln2?3. (B) ?ln2?3. 88(C) ?8ln2?3. (D) 8ln2?3. [ ]
(A)
（10）设区域D?{(x,y)x2?y2?4,x?0,y?0}，f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常
数，则
??Daf(x)?bf(y)f(x)?f(y)d??
(A) ab?. (B)
aba?b?. (C) (a?b)?. (D) ? . [ ] 22（11）设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)?具有一阶导数，则必有
?x?yx?y?(t)dt, 其中函数?具有二阶导数，?
?2u?2u?2u?2u (A) ??2. （B） 2?2.
?x2?y?x?y?2u?2u?2u?2u(C) ?2. (D) ?2. [ ]
?x?y?y?x?y?x（12）设函数f(x)?1exx?1,则 ?1三、 x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.
(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.
(D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]
- 47 -
（13）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，
A(?1??2)线性无关的充分必要条件是
(A) ?1?0. (B) ?2?0. (C) ?1?0. (D) ?2?0. [ ] （14）设A为n（n?2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, A,B分别为A,B的伴随矩阵，则 [ ]
18.交换A的第1列与第2列得B. (B) 交换A的第1行与第2行得B.
(C) 交换A的第1列与第2列得?B. (D) 交换A的第1行与第2行得?B. 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且f(0)?0，求极限
**********?limx?0x0(x?t)f(t)dtx0x?f(x?t)dt.
（16）（本题满分11分）
如图，C1和C2分别是y?1(1?ex)和y?ex的图象，过点(0,1)的曲2线C3是一单调增函数的图象. 过C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly. 记C1,C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2,C3与ly所围图形的面积为
S2(y).如果总有S1(x)?S2(y)，求曲线C3的方程x??(y).
（17）（本题满分11分）
如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分
（18）（本题满分12分）
用变量代换x?cost(0?t??)化简微分方程(1?x)y???xy??y?0，并求其满足
2?30(x2?x)f???(x)dx.
yx?0?1,y?x?0?2的特解.
（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证
- 48 -
明：
（I）存在??(0,1), 使得f(?)?1??；（II）存在两个不同的点?,??(0,1)，使得
f?(?)f?(?)?1.
（20）（本题满分10分）
已知函数z=f(x,y) 的全微分dz?2xdx?2ydy，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域
y2D?{(x,y)x??1}上的最大值和最小值.
42
（21）（本题满分9分）
计算二重积分
??Dx2?y2?1d?，其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}.
（22）（本题满分9分）
TTT确定常数a,使向量组?1?(1,1,a),?2?(1,a,1),?3?(a,1,1)可由向量组
?1?(1,1,a)T,?2?(?2,a,4)T,?3?(?2,a,a)T线性表示，但向量组?1,?2,?3不能由向量
组?1,?2,?3线性表示.
（23）（本题满分9分）
?123???已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B?246（k为常数），????36k??且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.
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2004年考硕数学（二）真题
一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）
（1）设f(x)?lim(n?1)x, 则f(x)的间断点为x? .
n??nx2?13??x?t?3t?1（2）设函数y(x)由参数方程 ? 确定, 则曲线y?y(x)向上凸的x取值
3??y?t?3t?1范围为____..
（3）
?1??dxxx?12?_____..
?z?z??______. ?x?y2x?3z?2y确定, 则3（4）设函数z?z(x,y)由方程z?e3（5）微分方程(y?x)dx?2xdy?0满足yx?1?6的特解为_______. 5?210???（6）设矩阵A??120?, 矩阵B满足ABA??2BA??E, 其中A?为A的伴随矩
?001???阵, E是单位矩阵, 则B?______-.
二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把x?0时的无穷小量????0costx2dt, ???x20tantdt, ???x0sint3dt排
列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是
（A）?,?,?. （B）?,?,?.
（C）?,?,?. （D）?,?,?. （8）设f(x)?x(1?x), 则
（A）x?0是f(x)的极值点, 但(0,0)不是曲线y?f(x)的拐点. （B）x?0不是f(x)的极值点, 但(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. （C）x?0是f(x)的极值点, 且(0,0)是曲线y?f(x)的拐点.
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