1990-2017考研数学二历年真题word版

（21）（本题满分11分）

设数列?xn?满足：x1?0,xnexn?1?exn?1(n?1,2,L),证明?xn?收敛，并求limxn.

n??

（22）（本题满分11分）

设实二次型f(x1,x2,x3)?(x1,?x2?x3)2?(x2?x3)2?(x1?ax3)2,其中a是参数.

(I) 求f(x1,x2,x3)?0的解； (II) 求f(x1,x2,x3)的规范形.

（23）（本题满分11分）

?12a??1a2?????已知a是常数，且矩阵A=?130?可经初等列变换化为矩阵B=?011?.

?27?a???111?????(I) 求a;

(II) 求满足AP?B的可逆矩阵P.

- 5 -

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选

项是符合题目要求的.

?1?cosx,x?0?（1）若函数f(x)??在x=0连续，则 ax?b,x?0?(A)ab?11 (B)ab?? (C)ab?0 (D)ab?2 22（2）设二阶可到函数f(x)满足f(1)?f(?1)?1,f(0)??1且 f??(x)?0，则 (A) (B) (C) (D)

??1?11f(x)dx?0 f(x)dx?0 f(x)dx??f(x)dx

01?20???11?1f(x)dx??f(x)dx

01（3）设数列?xn?收敛，则

(A)当limsinxn?0时，limxn?0

n??n??(B)当limxn(xn?n??xn)?0 时，则limxn?0

n??(C)当lim(xn?xn)?0,

n??n??2lim?0

n??(D)当lim(xn?sinxn)?0时，limxn?0

n??2xk（4）微分方程y???4y??8y?e(1?cos2x) 的特解可设为y?

(A)Ae2x?e2x(Bcos2x?Csin2x) ?e2x(Bcos2x?Csin2x)

(B)Axe(C)Ae2x2x?xe2x(Bcos2x?Csin2x) ?xe2x(Bcos2x?Csin2x)

(D)Axe2x（5）设f(x)具有一阶偏导数，且在任意的(x,y)，都有

?f(x,y)?f(x,y)?0,则 ?x?y - 6 -

(A)f(0,0)?f(1,1) (B)f(0,0)?f(1,1) (C)f(0,1)?f(1,0) (D)f(0,1)?f(1,0)

（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m）处,图中，实线表示甲的速度曲线v?v1?t? （单位:m/s）虚线表示乙的速度曲线v?v2?t?，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0（单位:s）,则 (A)t0?10 (B)15?t0?20 (C)t0?25 (D)t0?25

v(m/s)1020051015202530t(s)

?000????1（7）设A为三阶矩阵，P?(?1,?2,?3)为可逆矩阵，使得 PAP?010????002??A(?1,?2,?3)?

(A)?1??2 (B)?2?2?3 (C)?2??3 (D)?1?2?2

，则

?200??210??100???????（8）已知矩阵A?021，B?020，C?020，则 ??????????001???001???000??(A) A与C相似，B与C相似

(B) A与C相似，B与C不相似 (C) A与C不相似，B与C相似 (D) A与C不相似，B与C不相似

- 7 -

二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.

（9）曲线y?x1?arcsinx的斜渐近线方程为

?2??x?t?etd2y（10）设函数y?y(x)由参数方程?确定，则

dx2?y?sint（11）

t?0

???ln(1?x)0?1?x?2dx = （12）设函数fx,y具有一阶连续偏导数，且

??df?x,y??yeydx?x?1?y?eydy,f?0,0??0，则f?x,y?=

（13）

?10dy?1tanxyxdx?

?41?2??1?????（14）设矩阵A??12a?的一个特征向量为?1?，则a?

?31?1??2?????

三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）

求lim?x?0?x0x?tetdtx3

（16）（本题满分10分）

dy设函数f?u,v?具有2阶连续性偏导数，y?fe,cosx,求

dx?x?d2y,2dxx?0

x?0

（17）（本题满分10分）

求lim?kk?ln1??? n???n2n??k?1n（18）（本题满分10分）

已知函数错误!未找到引用源。由方程错误!未找到引用源。确定，求错误!未找到引用源。的极值 （19）（本题满分10分）

f(x)在?0,1?上具有2阶导数，f(1)?0,lim?x?0f(x)?0，证明 x（1）方程f(x)?0在区间(0,1)至少存在一个根

- 8 -