d2y(9) 设y?y(x)是由方程x?y?1?e所确定的隐函数，则2dx2yx?0? .
(10)limn? ?2?L?2?222?n??1?n2?nn?n?? . (11) 设z?f?lnx??111????z1?2?zx?y? . ,fu??可微，则?其中函数
?x?yy?(12) 微分方程ydx?x?3y?2?dy?0满足条件yx?1?1的解为y? .
(13) 曲线y?x?x?x?0?上曲率为
22的点的坐标是 . 2(14) 设A为3阶矩阵，A=3，A*为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则
BA*? .
三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证．．．明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)
已知函数f?x??(I)求a的值;
(II)若x?0时，f?x??a与x是同阶无穷小，求常数k的值.
k1?x1?，记a?limf?x?，
x?0sinxx(16)(本题满分 10 分)
求函数f?x,y??xe?x2?y22的极值.
(17)(本题满分12分)
过(0,1)点作曲线L:y?lnx的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成,求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
(18)(本题满分 10 分)
计算二重积分
??xyd?，其中区域D为曲线r?1?cos??0?????与极轴围成.
D(19)(本题满分10分)
已知函数f(x)满足方程f??(x)?f?(x)?2f(x)?0及f??(x)?f(x)?2ex, (I) 求f(x)的表达式;
(II) 求曲线y?f(x2)?f(?t2)dt的拐点.
0x(20)(本题满分10分)
1?xx2 证明xln?cosx?1?,(?1?x?1).
1?x2(21)(本题满分10 分)
- 25 -
(I)证明方程xn+xn-1?L?x?1n?1的整数，在区间?(II)记(I)中的实根为xn，证明limxn存在，并求此极限.
n?????1?,1?内有且仅有一个实根； ?2?(22)(本题满分11 分)
?1?0设A???0??aa00??1????1a0??1，????
?0?01a????001??0?(I) 计算行列式A；
(II) 当实数a为何值时，方程组Ax??有无穷多解，并求其通解.
(23)(本题满分11 分)
?101???011?，二次型f?x,x,x??xT?ATA?x的秩为2， 已知A??123??10a???0a?1??(I) 求实数a的值；
(II) 求正交变换x?Qy将f化为标准形.
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
(A) 选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 ．．．
（1）已知当x?0时，函数f(x)?3sinx?sin3x与cx是等价无穷小，则（ ）
（A）k?1,c?4 （B）k?1,c??4 （C）k?3,c?4 （D）k?3,c??4
kx2f(x)?2f(x3)?（ ） （2）设函数f(x)在x?0处可导，且f(0)?0，则lim3x?0x（A）?2f?(0) （B）?f?(0) （C）f?(0) （D）0 （3）函数f(x)?ln(x?1)(x?2)(x?3)的驻点个数为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （4）微分方程y????y?e2?x?e??x(??0)的特解形式为（ ）
- 26 -
（A）a(e?x?e??x) （B）ax(e?x?e??x) ?be??x) （D）x2(ae?x?be??x)
（C）x(ae?x（5）设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)?0，g(0)?0，f?(0)?g?(0)?0则函数z?f(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ） （A）f??(0)?0，g??(0)?0 （B）f??(0)?0，g??(0)?0 （C）f??(0)?0，g??(0)?0 （D）f??(0)?0，g??(0)?0
??40?0（6）设I??40lnsinxdx，J??lncotxdx，K??4lncosxdx，则I，J，K的大小关
系为（ ）
（A）I?J?K （B）I?K?J （C）J?I?K （D）K?J?I
（7）设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行
?100??100??????110P?001得单位矩阵。记P，????，则A=（ ） 12?001??010????? （A）P1P2 （C）P1 1P2 （B）P2P1 （D）P2P?1?1,0,1,0)是方程组Ax?0（8）设A?(?1,?2,?3,?4)是4阶矩阵，A为A的伴随矩阵。若(1 的一个基础解系，则Ax?0的基础解系可为（ ）
（A）?1,?3 （B）?1,?2 （C）?1,?2,?3 （D）?2,?3,?4 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸指定位置上。 ．．．（9）lim??**T?1?2x?0?2x???? 。 ?'?x1x（10）微分方程y?y?e（11）曲线y?cosx满足条件y(0)?0的解为y? 。
?x0tantdt (0?x??4)的弧长s? 。
????e?kx,x?0,（12）设函数f(x)?? ??0，则?xf(x)dx? 。
??x?0,?0,（13）设平面区域D由直线y?x，圆x?y?2y及y轴所围成，则二重积分
- 27 -
22
??xyd?? 。
D222（14）二次型f(x1,x2,x3)?x1?3x2?x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3，则f的正惯性指数
为 。
三、解答题：15～23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应字说明、 ．．．
证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分10分） 已知函数F(x)?
（16）（本题满分11分）
?x0ln(1?t2)dtx?，设limF(x)?lim?F(x)?0，试求?的取值范围。
x???x?0131?x?t?t?,??33 设函数y?y(x)由参数方程? 确定，求y?y(x)的极值和曲线?y?1t3?t?1?33?y?y(x)的凹凸区间及拐点。
（17）（本题满分9分）
设函数z?f(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在
?2zx?1处取得极值g(1)?1，求
?x?y
（18）（本题满分10分）
。
x?1,y?1 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y?y(x)与直线y?x相切于原点，记?为曲
线l在点(x,y)处切线的倾角，若
（19）（本题满分10分）
（I）证明：对任意的正整数n，都有
d?dy?，求y(x)的表达式。 dxdx1?1?1?ln?1???成立。 n?1?n?n （II）设an?1?
11????lnn(n?1,2,?)，证明数列?an?收敛。 2n- 28 -
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