（2）圆c的参数方程为?【答案】（Ⅰ）a??x?1?cos?，（?为参数），试判断直线l与圆的位置关系． ?y?sin?2，直线l：x?y?2?0；（Ⅱ）相交 15．（2012辽宁）在直角坐标xOy中，圆C1:x2?y2?4，圆C2:(x?2)2?y2?4。 (Ⅰ)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1,C2的极坐标方程，并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示)； (Ⅱ)求出C1与C2的公共弦的参数方程。 ?x?t?【答案】(1)C1:ρ=2，C2:ρ=4cosθ,交点极坐标（(-1)2,nπ-），n∈Z(2)?(-3≤y≤3) 3y?y?n16．(2013新标1) 已知曲线C1的参数方程为??x?4?5cost,（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半?y?5?5sint轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??2sin?。 （Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（??0,0???2?）。 π??π??【答案】(1)ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0；(2) ?2，?，?2，? 4??2?? 17．（2013辽宁）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的πθ－?＝22. 极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos??4?(1)求C1与C2交点的极坐标； x＝t＋a，??(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为?b3(t∈R为y＝t＋1??2参数)，求a，b的值． 【简解】(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0. 22???x＋?y－2?＝4，?x1＝0，?解得??x＋y－4＝0，???y1＝4，3 ??x2＝2，ππ?4，?，?22，?， 所以C1与C2交点的一个极坐标为?4??2???y2＝2.? (2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0， bab由参数方程可得y＝x－＋1，所以22??ab?－2＋1＝2，b＝1，2 解得a＝－1，b＝2. 第 6 页（共 9 页）
18．（2014辽宁）将圆x2?y2?1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C的参数方程； （2）设直线l:2x?y?2?0与C的交点为P以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，1,P2，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程. 【简解】（Ⅰ）设(x1,y1)为圆上的点，在已知变换下位C上点（x，y），依题意，得??x?x1 由x12?y12?1 ?y?2y1?x＝costy2y22?1.，故C得参数方程为 ?得x?()?1，即曲线C的方程为x? （t为参数）. 24y＝2sint?2?2y2?x?1?x?0?1?x?(Ⅱ)由?解得：，或. 4???y?0?y?2?2x?y?2?0?不妨设P,0),P2(0,2),则线段PP12的中点坐标为(,1),所求直线的斜率为k?1(11，于是所求直线方程为2113y?1?(x?)，化极坐标方程，得2?cos??4?sin???3，即??. 224sin??2cos?1219. (2012新标理) 已知曲线C1的参数方程是??x?2cos?(?为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴 ?y?3sin?为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是??2，正方形ABCD的顶点都在C2上， 且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,?3) 2222（1）求点A,B,C,D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求PA?PB?PC?PD的取值范围。 【简解】（1）点A,B,C,D的直角坐标为(1,3),(?3,1),(?1,?3),(3,?1) ?x0?2cos?(?为参数) （2）设P(x0,y0)；则??y0?3sin?t?PA?PB?PC?PD?4x2?4y2?40?56?20sin2??[56,76] 20.(2014新标2理) 在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为??2cos?， （Ⅰ）求C的参数方程； （Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l:y?3x?2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标. 第 7 页（共 9 页）
2222??. ???0,???2?
【简解】（I）C的普通方程为(x?1)2?y2?1(0?y?1).参数方程为??x?1?cost,（t为参数，0?t?x） ?y?sint, （Ⅱ）设D(1?cost,sint).由（I）知C是以G（1,0）为圆心，1为半径的上半圆。 因为C在点D处的切线与t垂直，所以直线GD与t的斜率相同， tant?3,t??. 故D的直角坐标为3(1?cos??33,sin)，即(,)。 3322??x＝3cos θ，21．(2017·全国Ⅰ文)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?(θ为参数)，直线l的参数?y＝sin θ???x＝a＋4t，方程为?(t为参数)． ?y＝1－t? (1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l的距离的最大值为17，求a. x221．解 (1)曲线C的普通方程为＋y＝1.当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0. 9x??x＝－25，??9＋y2＝1，?x＝3，由?解得?或?24?y＝0???x＋4y－3＝0，y＝?25.2 21 2124－，?. 从而C与l的交点坐标为(3,0)，??2525?(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为 |3cos θ＋4sin θ－a－4|a＋9a＋9d＝.当a≥－4时，d的最大值为 .由题设得＝17，所以a＝8； 171717当a<－4时，d的最大值为－a＋1－a＋1.由题设得＝17，所以a＝－16.综上，a＝8或a＝－16. 171722．(2017·全国Ⅱ文，22在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4. (1)M为曲线C1的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程； π2，?，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值． (2)设点A的极坐标为??3?42．解 (1)设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝. cos θ由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α， 1?sin?α－π??＝2?sin?2α－π?－3?≤2＋3. 于是△OAB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·??3????23?2?π当α＝－时，S取得最大值2＋3.所以△OAB面积的最大值为2＋3. 12 第 8 页（共 9 页）
??x＝2＋t，23．(2017·全国Ⅲ文，22)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为?(t为参数)，直线l2的参?y＝kt? x＝－2＋m，??数方程为?m(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C. y＝??k(1)写出C的普通方程； (2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M为l3与C的交点，求M的极径． 13．解 (1)消去参数t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m，得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)． ky＝k?x－2?，??设P(x，y)，由题设得?1消去k得x2－y2＝4(y≠0)．所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)． ??y＝k?x＋2?. ?ρ?cosθ－sinθ?＝4，222(2)C的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立?得 ?ρ?cos θ＋sin θ?－2＝0，191cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝. 31010代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，得ρ2＝5，所以交点M的极径为5. x＝－8＋t，??24．(2017·江苏，21)在平面直角坐标系中xOy中，已知直线l的参数方程为?(t为参数)，曲ty＝??2222 ?x＝2s，线C的参数方程为? (s为参数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值． y＝22s?4．解 直线l的普通方程为x－2y＋8＝0，因为点P在曲线C上，设P(2s2,22s)， |2s2－42s＋8||2?s－2?2＋4|45从而点P到直线的距离d＝＝，当s＝2时，dmin＝. 55545因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值. 52
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