对数函数知识点总结

对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果a?N(a?0,a?1)，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，记作：x?logaN（a— 底数，N— 真数，logaN— 对数式）

说明：○1 注意底数的限制a?0，且a?1；

x ○2 a?N?logaN?x；

x ○3 注意对数的书写格式． 两个重要对数：

1 常用对数：以10为底的对数lgN； ○

2 自然对数：以无理数e?2.71828?为底的对数的对数lnN． ○

（二）对数的运算性质

如果a?0，且a?1，M?0，N?0，那么：

1 loga(M·N)?logaM＋logaN； ○

M?logaM－logaN； Nn3 logaM?nlogaM (n?R)． ○

2 loga○

注意：换底公式

logab?logcb （a?0，且a?1；c?0，且c?1；b?0）．

logca1n（2）logab?． logab；

logbam利用换底公式推导下面的结论

（1）logambn?（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数y?logax(a?0，且a?1)叫做对数函

数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y?2log2x，y?log5x 都不是对数函数，而只能称

5其为对数型函数．

2 对数函数对底数的限制：(a?0，且a?1)． ○

2、对数函数的性质： a>1 32.521.50

例1．求下列函数的定义域：

22（1）y?logax； （2）y?loga(4?x)； （3）y?loga(9?x)．

22解：（1）由x>0得x?0，∴函数y?logax的定义域是xx?0；

??（2）由4?x?0得x?4，∴函数y?loga(4?x)的定义域是xx?4；

22（3）由9-?x?0得-3?x?3，∴函数y?loga(9?x)的定义域是

??1????x?3?x?3?．例2．求函数y??5

?1??2和函数y????2???xx2?1?2(x?0)的反函数。

?1?解：（1）???y?2 ∴f?1(x)?log1(x?2) (x?-2)；

?5?5 （2） ??x?1??2?x2?15?y-2 ∴f-1(x)??log1(x-2) (2?x?)．

22例4．比较下列各组数中两个值的大小：

（1）log23.4，log28.5； （2）log0.31.8，log0.32.7； （3）loga5.1，loga5.9.

解：（1）对数函数y?log2x在(0,??)上是增函数，于是log23.4?log28.5；

（2）对数函数y?log0.3x在(0,??)上是减函数，于是log0.31.8?log0.32.7； （3）当a?1时，对数函数y?logax在(0,??)上是增函数，于是loga5.1?loga5.9， 当o?a?1时，对数函数y?logax在(0,??)上是减函数，于是loga5.1?loga5.9． 例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：

（1）log67，log76； （2）log3?，log20.8； （3）1.1，log1.10.9，log0.70.8； （4）log53，log63，log73．

0.9解：（1）∵log67?log66?1， log76?log77?1，∴log67?log76； （2）∵log3??log31?0， log20.8?log21?0，∴log3??log20.8． (3

）

∵

10?..1?9，1 .log11.10.9?1log1.11?0，

0?log0.71?log0.70.8?log0.70.7?1，

∴1.10.9?log0.70.8?log1.10.9．

（4）∵0?log35?log36?log37， ∴log53?log63?log73． 例7．求下列函数的值域：

22（1）y?log2(x?3)； （2）y?log2(3?x)； （3）y?loga(x?4x?7)（a?0且

． a?1）

解：（1）令t?x?3，则y?log2t， ∵t?0， ∴y?R，即函数值域为R． （2）令t?3?x，则0?t?3， ∴y?log23， 即函数值域为(??,log23]． （3）令t?x?4x?7?(x?2)?3?3， 当a?1时，y?loga3， 即值域为

222[loga3,??)，

当0?a?1时，y?loga3， 即值域为(??,loga3]． 例8．判断函数f(x)?log2(x2?1?x)的奇偶性。

解：∵x2?1?x恒成立，故f(x)的定义域为(??,??)， f(?x)?log2(x2?1?x)

??log21x2?1?x??log2x2?1?x(x2?1)2?x2??log2x2?1?x??f(x)，所以，f(x)为奇函数。

例9．求函数y?2log1(x2?3x?2)的单调区间。

3

解：令u?x?3x?2?(x?)?22322133在[,??)上递增，在(??,]上递减，

224又∵x?3x?2?0， ∴x?2或x?1，

2故u?x?3x?2在(2,??)上递增，在(??,1)上递减， 又∵y?2log1u为减函数，

3所以，函数y?2log1(x2?3x?2)在(2,??)上递增，在(??,1)上递减。

32例10．若函数y??log2(x?ax?a)在区间(??,1?3)上是增函数，a的取值范围。

解：令u?g(x)?x?ax?a， ∵函数y??log2u为减函数，

2∴u?g(x)?x?ax?a在区间(??,1?23上)递减，且满足u?0，∴

?a??1?3，解得2?23?a?2， ?2?g(1?3)?0?所以，a的取值范围为[2?23,2]．

【例1】 (1)求函数y=log123x?2的定义域．2x?1(2)求函数y=1(a＞0，且a≠1)的定义域．1?loga(x?a)3(3)已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数y=f[log1(3－x)]的定义

3x?2??x?1log?12x?1≥0?3x?2?2x?1≤0≤12?2x?1????3x?212?解(1)由?＞0??(3x?2)(2x?1)＞0??x＜或x＞?

23?2x?1??11?2x?1≠0?x≠?x≠2???2???1?2＜x≤1? 122?x＜或x＞?＜x≤1?233?1?x≠?2?2∴ 所求定义域为{x|＜x≤1}

3解 (2)∵1－loga(x＋a)＞0，∴loga(x＋a)＜1． 当a＞1时，0＜x＋a＜a，∴函数的定义域为(－a，0)． 当0＜a＜1时，x＋a＞a，∴函数的定义域为(0，＋∞)． 解 (3)∵f(x)的定义域为[0，1]，∴函数y=f[log1(3－x)]有意义，

3必须满足0≤log1(3－x)≤1，即log11≤log1(3－x)≤log1333311，∴≤3－33

88x≤1，∴2≤x≤．故函数y=f[log1(3－x)]的定义域为[2，]．33310x【例2】 已知函数y=，试求它的反函数，以及反函数的定义域和值域．

1?10x