解答：解：（I）∵在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列， 又∵这n+2个数的乘积计作Tn， ∴Tn=10n+2 又∵an=lgTn，
∴an=lg10n+2=n+2，n≥1．
（II）∵bn=tanan?tanan+1=tan（n+2）?tan（n+3）=∴Sn=b1+b2+…+bn=[
]
=
]+[
， ]+…+[
点评：本题考查的知识点是等比数列的通项公式及数列与三角函数的综合，其中根据已知求出这n+2项的几何平均数为10，是解答本题的关键．锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。 7．（2010?浙江）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0．構氽頑黉碩饨荠龈话骛。 （Ⅰ）若S5=5，求S6及a1； （Ⅱ）求d的取值范围． 解答：解：（Ⅰ）由题意知S6=a6=S6﹣S5=﹣8 所以
=﹣3，
解得a1=7
所以S6=﹣3，a1=7； 解：（Ⅱ）因为S5S6+15=0， 所以（5a1+10d）（6a1+15d）+15=0， 即2a12+9da1+10d2+1=0． 故（4a1+9d）2=d2﹣8． 所以d2≥8．
故d的取值范围为d≤﹣2或d≥2． 8．（2010?四川）已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
﹣
（Ⅱ）设bn=（4﹣an）qn1（q≠0，n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn． 分析：（1）设{an}的公差为d，根据等差数列的求和公式表示出前3项和前8项的和，求的a1和d，进而根据等差数列的通项公式求得an．輒峄陽檉簖疖網儂號泶。 （2）根据（1）中的an，求得bn，进而根据错位相减法求得数列{bn}的前n项和Sn． 解答：解：（1）设{an}的公差为d， 由已知得解得a1=3，d=﹣1
9
故an=3+（n﹣1）（﹣1）=4﹣n；
（2）由（1）的解答得，bn=n?qn﹣
1，于是
Sn=1?q0+2?q1+3?q2+…+（n﹣1）?qn﹣
1+n?qn． 若q≠1，将上式两边同乘以q，得
qSn=1?q1+2?q2+3?q3+…+（n﹣1）?qn+n?qn+1． 将上面两式相减得到
（q﹣1）Sn=nqn﹣（1+q+q2+…+qn﹣
1）
=nqn﹣
于是Sn=
若q=1，则Sn=1+2+3+…+n=
所以，Sn=．
9．（2010?四川）已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n﹣1+2（m﹣n）2絳闕绚勵蜆贅。 （1）求a3，a5；
（2）设bn=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{bn}是等差数列；
（3）设cn=（an+1﹣an）qn﹣
1（q≠0，n∈N*），求数列{cn}的前n项和Sn． 分析：（1）欲求a3，a5只需令m=2，n=1赋值即可．
（2）以n+2代替m，然后利用配凑得到bn+1﹣bn，和等差数列的定义即可证明． （3）由（1）（2）两问的结果可以求得cn，利用乘公比错位相减求{cn}的前n项和Sn． 解答：解：（1）由题意，令m=2，n=1，可得a3=2a2﹣a1+2=6 再令m=3，n=1，可得a5=2a3﹣a1+8=20
（2）当n∈N*时，由已知（以n+2代替m）可得
a2n+3+a2n﹣1=2a2n+1+8
于是[a2（n+1）+1﹣a2（n+1）﹣1]﹣（a2n+1﹣a2n﹣1）=8 即bn+1﹣bn=8
所以{bn}是公差为8的等差数列 （3）由（1）（2）解答可知{bn}是首项为b1=a3﹣a1=6，公差为8的等差数列 则bn=8n﹣2，即a2n+1﹣a2n﹣1=8n﹣2 另由已知（令m=1）可得 an=
﹣（n﹣1）2．
那么an+1﹣an=﹣2n+1
=
﹣2n+1=2n
于是cn=2nqn﹣
1．
当q=1时，Sn=2+4+6++2n=n（n+1）
当q≠1时，Sn=2?q0+4?q1+6?q2++2n?qn﹣
1． 两边同乘以q，可得
10
尧侧閆繭qSn=2?q1+4?q2+6?q3++2n?qn． 上述两式相减得
（1﹣q）Sn=2（1+q+q2++qn1）﹣2nqn
﹣
=2?
﹣2nqn
=2?
所以Sn=2?
综上所述，Sn=
点评：本小题是中档题，主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．同时考查了等差，等比数列的定义，通项公式，和数列求和的方法．识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。
10．（2010?陕西）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项；
（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn． 分析：（I）由题意可得a32=a1?a9=a9，从而建立关于公差d的方程，解方程可求d，进而求出通项an凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。 （II）由（I）可得
，代入等比数列的前n项和公式可求Sn
解答：解（Ⅰ）由题设知公差d≠0， 由a1=1，a1，a3，a9成等比数列得
=
，
解得d=1，d=0（舍去），故{an}的通项an=1+（n﹣1）×1=n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知{2}^{{a}_{n}}={2}^{n}，由等比数列前n项和公式得 Sm=2+22+23+…+2n=
=2n+1﹣2．
点评：本题考查了等差数列及等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于基本公式的简单运用．
11．（2009?陕西）已知数列{an}满足，（1）令bn=an+1﹣an，证明：{bn}是等比数列； （2）求{an}的通项公式．
分析：（1）先令n=1求出b1，然后当n≥2时，求出an+1的通项代入到bn中化简可得{bn}是以1为首项，比的等比数列得证；恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。 （2）由（1）找出bn的通项公式，当n≥2时，利用an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（an﹣an﹣1）代入并利用等比数列的前n项和的公式求出即可得到an的通项，然后n=1检验也符合，所以n∈N，an都成立．鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。 解答：解：（1）证b1=a2﹣a1=1，
为公
，n∈N×．
11
当n≥2时，
所以{bn}是以1为首项，（2）解由（1）知
为公比的等比数列．
，
当n≥2时，an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（an﹣an﹣1）=1+1+（﹣）+…+
===，
当n=1时，所以
． ．
?12.(2009山东)等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n?N ，点(n,Sn)，均在函数y?b?r(b?0x且b?1,b,r均为常数)的图像上.硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。 （1）求r的值； （11）当b=2时，记 bn?n?1(n?N?) 求数列{bn}的前n项和Tn 4anx?解:因为对任意的n?N,点(n,Sn)，均在函数y?b?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上.所以得
Sn?bn?r,
当n?1时,a1?S1?b?r,
nn?1nn?1n?1当n?2时,an?Sn?Sn?1?b?r?(b?r)?b?b?(b?1)b, n?1又因为{an}为等比数列, 所以r??1, 公比为b, 所以an?(b?1)b
n?1n?1（2）当b=2时，an?(b?1)b?2, bn?n?1n?1n?1?? n?1n?14an4?22234n?1???L? 234n?122221234nn?1Tn????L?? 345n?1n?2222222121111n?1相减,得Tn?2?3?4?5?L?n?1?n?2
222222211?(1?)n?11n?1123n?132??n?2??n?1?n?2
1422221?2则Tn?
12
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