设，①
则，②
由①﹣②得：，（10分）
∴．又1+2+3+．（12分）
∴数列的前n项和：．（14分）
点评：此题主要考查通过构造新数列达到求解数列的通项公式和前n项和的方法．
20.(2010、天津)（本小题满分14分） 在数列?an?中，a1?0，且对任意k?N*k?N，a2k?1,a2k,a2k?1成等差数列，其公差为dk。
(Ⅰ)若dk=2k，证明a2k?1,a2k,a2k?2成等比数列（k?N*）； (Ⅱ)若对任意k?N*，a2k?1,a2k,a2k?2成等比数列，其公比为qk. 设q1?1.证明??1??是等差数列；
?qk?1??a?4k,k?N*。 2k?12k?1【解析】（Ⅰ）证明：由题设，可得a所以a2k?1?a1?(a?a)?(a?a)?...?(a3?a1)
2k?12k?12k?12k?3=4k?4(k?1)?...?4?1 =2k(k+1) 由a1=0，得a?2k(k?1),从而a?a?2k?2k2,a?2(k?1)2.
2k?12k2k?12k?2aaak?1a2k?2k?12k?12k?2?,?,所以?2k?1。 于是akakaa2k2k?12k?12k所以dk?2k时，对任意k?N,a*2k,a,a成等比数列。
2k?12k?2（Ⅱ）证法一：（i）证明：由a成等差数列，及a,a成等比数列，得,a,a,a2k?12k2k?12k2k?12k?2aa2k?12a?a?a,2??2k?1?1?qk
2k2k?12k?1aaq2k2kk?1当q1≠1时，可知qk≠1，k?N
17
*从而
111q??k?12?1qk?1?1?1,即1q?1k?1qk?1?1?1(k?2)
q?1k?1?所以??1??
??qk?1?是等差数列，公差为1。
??
21. （2009全国卷Ⅱ理）设数列{an}的前n项和为Sn, 已知a1?1,Sn?1?4an?2 （I）设bn?an?1?2an，证明数列{bn}是等比数列 （II）求数列{an}的通项公式。
解：（I）由a1?1,及Sn?1?4an?2，有a1?a2?4a1?2,a2?3a1?2?5,?b1?a2?2a1?3由Sn?1?4an?2，．．．① 则当n?2时，有Sn?4an?1?2．．．．．② ②－①得an?1?4an?4an?1,?an?1?2an?2(an?2an?1)
又Qbn?an?1?2an，?bn?2bn?1?{bn}是首项b1?3，公比为２的等比数列．
（II）由（I）可得ba3?2n?1n?n?1?2an?，?an?12n?1?an2n?34 ?数列{an2n}是首项为132，公差为4的等比数列． ?an13312n?2?(n?1)4?4n?4，an?(3n?1)?2n?2 10分
22.（2008四川卷）．设数列?an?的前n项和为Sn，已知bann?2??b?1?Sn
（Ⅰ）证明：当b?2时，?a1n?n?2n??是等比数列； （Ⅱ）求?an?的通项公式
解 由题意知aban1?2，且n?2??b?1?Sn
ba?1n?1?2n??b?1?Sn?1
两式相减得b?an?1?an??2n??b?1?an?1
即ann?1?ban?2①
（Ⅰ）当b?2时，由①知ann?1?2an?2
于是an?1??n?1??2n?2annn?2??n?1??2
?2?an?n?2n?1?
18
又an?11?1?2?1?0，所以?a?1n?n?2n?是首项为1，公比为2的等比数列。
（Ⅱ）当b?2时，由（Ⅰ）知an?1n?1?1?2n?1n?n?2?2，即an??n
当b?2时，由由①得
an?1?1?b?2n?1?ba1n?2n?2?b?2n?12 ?babnn?2?b?2
?b???a1?n?2?b?2n??
因此a1n2?b?2n?1??b??1??1??an?2?b?2n?? ?2?1?b?2?b?bn
?2n?1得a?n???1?2?b??2n??2?2b?bn?1??n?2
23.（2005北京）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an?1?13Sn，n=1，2，3，……，求 （I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式； （II）a2?a4?a6?L?a2n的值.
解：（I）由a11=1，an?1?3Sn，n=1，2，3，……，得 a?13S11114111621?3a1?3，a3?3S2?3(a1?a2)?9，a4?3S3?3(a1?a2?a3)?27，由a13(S14n?1?an?n?Sn?1)?3an（n≥2），得an?1?3an（n≥2），
又a1142=3，所以an=3(3)n?2(n≥2),
?1n?1∴数列{an}的通项公式为a?n???1?3(43)n?2n≥2
19
相关推荐：
loading