2020高考数学冲刺 精选新题好题真题精练[精]第4章 平面向量 第3讲 Word版含解析

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第3讲 平面向量的数量积及应用

[考纲解读] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系．(重点) 2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．(重点、难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的一个热点内容．预测2020年高考将考查向量数量积的运算、模的最值、夹角的范围．题型以客观题为主，试题难度以中档题为主，有时也会与三角函数、解析几何交汇出现于解答题中.

1．两个向量的夹角

2．平面向量的数量积

3．平面向量数量积的性质

设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角，则 (1)e·a＝a·e＝|a|cosθ. (2)a⊥b?01a·b＝0.

(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝02|a|2或|a|＝03a·b(4)cosθ＝|a||b|. (5)|a·b|≤04|a||b|.

4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝01b·a；

(2)(λa)·b＝02λ(a·b)＝03a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝04a·c＋b·c.

5．平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝01x1x2＋y1y2，由此得到： (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝02x2＋y2或|a|＝03

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a·a.

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x2＋y2；

→

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝|AB|＝04

□

?x2－x1?2＋?y2－y1?2；

(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?05x1x2＋y1y2＝0；

(4)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cosθ＝

x1x2＋y1y2

. 2222

x1＋y1·x2＋y2

□

1．概念辨析

(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( )

(2)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．( ) (3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( ) (4)(a·b)c＝a(b·c)．( )

(5)若a·b＝b·c(b≠0)，则a＝c.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× 2．小题热身

(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( ) A．4 B．3 C．2 D．0 答案 B

解析 因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3.所以选B. (2)(2017·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________. 答案 2

解析 ∵a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b， ∴a·b＝0，即－2×3＋3m＝0，解得m＝2.

(3)设向量a，b满足：|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a－b)，则a与b的夹角是________． 答案 60°

解析 设a与b的夹角为θ，因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝0， 1

故|a|2－|a||b|cosθ＝0，解得cosθ＝2，故a与b的夹角为60°.

(4)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的

投影为________．

答案 －2

解析 因为a·b＝|a||b|cosθ＝5×4×cos120°＝－10，所以b在a方向上的投a·b－10

影为|b|cosθ＝|a|＝5＝－2.

题型 一 平面向量数量积的运算

1．已知两个单位向量a和b的夹角为60°，则向量a－b在向量a方向上的投影为( )

11A．－1 B．1 C．－2 D.2 答案 D

11

解析 由两个单位向量a和b的夹角为60°，可得a·b＝1×1×2＝2，(a－b)·a1

?a－b?·a21112

＝a－a·b＝1－2＝2，向量a－b在向量a方向上的投影为|a|＝1＝2，故选D.

2．(2018·天津高考)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝→→→→→→120°，BM＝2MA，CN＝2NA，则BC·OM的值为( )

A．－15 B．－9 C．－6 D．0 答案 C

→→→→→→→→

解析 连接MN，因为BM＝2MA，所以AB＝3AM，同理AC＝3AN，BC＝AC→→→→→→→→→→→→→－AB＝3AN－3AM＝3MN，BC·OM＝3MN·OM＝3(ON－OM)·OM＝3ON·OM－→

3(OM)2＝3×2×1×cos120°－3×12＝－6.

3．已知菱形ABCD的两条对角线BD，AC的长度分别为6,10，点E，F分→→

别是线段BC，CD的中点，则AE·BF＝________.

答案 12

解析 依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，故A(－5,0)，C(5,0)，→→→→

3?9??53??5?153??5

E?2，2?，B(0,3)，F?2，－2?，则AE＝?2，2?，BF＝?2，－2?，则AE·BF＝12. ????????

计算向量数量积的三种方法

(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．

(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．如举例说明2.

(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．如举例说明3.

1．已知向量a＝(x,2)，b＝(2,1)，c＝(3，x)，若a∥b，则a·c＝( ) A．4 B．8 C．12 D．20 答案 D

解析 因为a∥b，所以x－2×2＝0，解得x＝4，所以a＝(4,2)，所以a·c＝(4,2)·(3,4)＝4×3＋2×4＝20.

2．(2019·西安八校联考)已知点A(－1,1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3,4)，→→

则向量CD在BA方向上的投影是( )