4.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像及三角函数模型的简单
核心考点·精准研析
考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及图像变换
1.若函数f(x)=cos
,为了得到函数g(x)=sin2x的图像,则只需将f(x)的图像 ( )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
2.若将函数y=2cosx(sinx+cosx)-1的图像向左平移φ个单位,得到的函数是偶函数,则φ的最小正值是
( )
B.
C.
D.
A.
3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),若f(x)的图像向左平移个单位所得的图像与f(x)的图像向右平移
个单位所得的图像重合,则ω的最小值为 .
4.已知函数f(x)=4cosx·sin(1)求a的值及f(x)的最小正周期; (2)画出f(x)在[0,π]上的图像.
+a的最大值为2.
- 1 -
【解析】1.选A.f(x)=cos
=sin
=sin
=sin2
,为了得到
g(x)=sin2x的图像,则只需将f(x)的图像向右平移个单位长度即可. 2.选A.化简函数:y=2cosx(sinx+cosx)-1=2sinxcosx+2cosx-1
2
=sin2x+cos2x=sin,
向左平移φ个单位可得y=sin,
因为y=sin是偶函数,
所以2φ+=+kπ,k∈Z,φ=+,k∈Z,
由k=0可得φ的最小正值是.
3.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),把f(x)的图像向左平移个单位所得的图像为
y=sin
=sin,把f(x)的图像向右平移个单位所得的图像为y=sin
=sin,
根据题意可得y=sin和y=sin的图像重合,故
- 2 -
+φ=2kπ-答案:4
+φ,k∈Z,求得ω=4k,k∈Z,故ω的最小值为4.
4.(1)f(x)=4cosxsin+a
=4cosx·+a=sin2x+2cosx+a
2
=sin2x+cos2x+1+a=2sin+1+a的最大值为2,
所以a=-1,最小正周期T==π.
(2)由(1)知f(x)=2sin,列表:
x 0 π 2 0 -2 0 2π π 2x+ 1 f(x)=2sin画图如图所示:
1
1.由函数y=sinx的图像通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
2.y=Asin(ωx+φ)的图像可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z=ωx+φ计算五点坐标. 【秒杀绝招】
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排除法解T1,变形f(x)=sinA.
T4,可用伸缩法画f(x)的图像. 考点二 由图像求解析式
,观察发现ω=2,所以不能平移,排除B,D;代入A,C检验,可知选
【典例】1.已知函数y=f(x)=2sin(ωx+φ)值分别是
( )
的部分图像如图所示,则ω,φ的
A.2,-
B.2,-
C.4,- D.4,
2.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示,则函数f(x)的解析式为 .
【解题导思】 序号 1 2 联想解题 看到A,B两点的横坐标,想到了求周期,从而求ω.由A,B两点的位置想到了特殊点,从而求φ. 由图像的最高点及最低点,想到了求A以及周期,从而确定ω,由特殊点的坐标想到了求φ. 【解析】1.选A.由题图可知,T=+,即T=π,
所以=π,即ω=2,
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由2×+φ=+2kπ(k∈Z)得
φ=-+2kπ,k∈Z,又-<φ<,
故φ=-.
2.由题图知A=,=-=,
所以T=π,ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),
又对应五点法作图中的第三个点,
所以2×+φ=π+2kπ(k∈Z),φ=+2kπ(k∈Z),
又|φ|<π,所以φ=,所以f(x)=sin.
答案:f(x)=sin
【一题多解】由题图知A=,=-=,以为第二个零点,为最小值点,列方程组解得
所以f(x)=sin.
答案:f(x)=
sin
确定y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式的步骤
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