n1?cos?，n2?sin?，n3?0 这一方向的相对伸长度为 ?n??ijninj
??xcos2??2?xysin?cos???ysin2? ??x??y?x??y2?2cos2???xysin2?
?A?Bcos2??Csin2? (a) 利用上式，可得 ?a?A?B，?b?A?1B?23C，?b?A?1B?23C 22 解之，得 A??a??b??c3 将求出的A、B和C代回式(a)，得
?n?，B?2?a??b??cC?3(???)，bc
33cos2??3(?b??c)sin2?
3?a??b??c2?a??b??c3?3
3.9试说明下列应变分量是否可能发生： ?x?axy2，?y ?yz?ax2y，?z?axy，
?ay2?bz2，?xz?ax2?by2，?xy?0
其中a和b为常数。
解：如果列出的应变分量是可能的，则必须满足协调方程。将题中的应变分量代入协
调方程(3.34c)，可以发现，必须有a?b?0。所以当a和b不为零时，上述应变分量是不可能发生的。
3.10确定常数A0，A1，B0，B1，C0，C1，C2之间的关系，使下列应变分量满足协
调方程
2244 ?x?A0?A1(x?y)?x?y，
?y?B0?B1(x2?y2)?x4?y4， ?xy?C0?C1xy(x2?y2?C2)， ?z??zx??zy?0。
解：将所给应变分量代入协调方程，可以得到常数之间的关系如下：
A1?B1?2C2。
其它三个常数A0、B0、C0可以是任意的。
C1?4，
3.11若物体的变形是均匀的，即应变张量和空间位置无关，试写出位移的一般表达式。
9
解：由于应变张量ε和空间位置无关，所以书中的式(3.36a)简化成 u?u0?ω0?(r?r0)??ε?dr?u?ω?(r?r)?ε?(r?r)
r00000r 其中u0是任意的刚体平移，ω0是任意的角位移矢量。
3.12设?x?ax，?y?by，?z?cz，?xy??yz??zx?0，其中a，b，c是常量，求位移的一般表达式。
解：所给的应变张量是，
ε?axe1?e1?bye2?e2?cze3?e3 很容易验证ε???0，且有 ??dr?axe1dx?bye2dy?cze3dz? 所以从式(3.36a),得 u?u0?ω0?(r?r0)? ?u0?ω0?(r?r0)?r1d(ax2e1?by2e2?cz2e3) 2?ε?dr
r001rd(ax2e1?by2e2?cz2e3) ?2r12 ?u0?ω0?(r?r0)?[a(x2?x0)e1?b(y2?y02)e2?c(z2?z02)e3] 2
第四章
4.1已知物体内一点的六个应力分量为：
?x?50a，?y?0，?z??30a，?yz??75a，?zx?80a，?xy?50a 试求法线方向余弦为n1?1，n2?1，n3?22剪应力?n。
解：应力矢量T的三个分量为 T1??1ini12的微分面上的总应力T、正应力?n和
?106.57a，T2??28.033a，T3??18.71a
总应力T? 剪应力?n?T12?T22?T32?111.8a。
?26.04a。
2T2??n?108.7a。
正应力?n?Tini
4.2过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为n和m，在这两个面上的应力矢量分别为T1和T2，试证T1?m?T2?n。 证：利用应力张量的对称性，可得 10
T1?m?(n?σ)?m??ijnimj??jinimj?(m?σ)?n?T2?n。证毕。
4.3某点的应力张量为
??x?xy?xz??012? ??yx?y?yz???1?y1?
??zx?zy?z??210????? 且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求?y及该平面的单位法向矢量。 解：设要求的单位法向矢量为ni，则按题意有 ?ijnj 即
n2?2n3?0，n1??yn2?n3?0，2n1?n2?0 (a) 上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得 (2?y?2)n2?0
上式有两个解：n2?0或?y可求得 n???0
?1。若n2?0，则代入式(a)中的三个式子，可得
n1?n3?0，这是不可能的。所以必有?y?1。将?y?1代入式(a)，利用nini?1，
e1?2e2?e3。 6
4.4基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图4.8，下部受均匀压力作用，斜面自由，
试验证应力分量 ?x?A(?arctg ?y ?zyxy?22?C) xx?yyxy?A(?arctg?22?B)
xx?y??yz??xz?0，?xy??Ay2
x2?y2O?xyq图4.8 满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数
A、B和C。
解：将题中的应力分量代入平衡方程，可知它们
满足平衡方程。
在y?0的边界上，有边界条件 (?y)y?0??q，(?xy)y?0?0
所给的应力分量?xy自动满足上面的第二个条件。将?y的表达式代入上面的第一个条
11
件，得
AB??q (1) 在上斜面上，有
y??xtg?，所以斜面上的应力分量可以简化成
?x?A(??sin?cos??C)，?x?A(??sin?cos??B)，
?xy??Asin2?，?z??yz??xz?0 (2)
斜面上的外法向方向余弦为
n1??sin?，n2??cos?，n3?0 (3) 将式(2)和(3)代入边界条件?ijnj ??0，得
???C?0 (4)
A(sin???cos?)?ABcos??0?A?q，B?tg???，C???
??tg? 联立求解(1)和(4)，得
4.5图4.9表示一三角形水坝，已求得应力分量为 ?x?ax?by，?y ?yz?cx?dy，?z?0，
xO??xz?0，?xy??dx?ay??x
?和?1分别是坝身和水的比重。求常数a、b、c、d，使上述应力分量满足边界条件。 解：在x?0的边界上，有边界条件 (?x)x?0???1y，(?xy)x?0?0
将题中的应力分量代入上面两式，可解得：a?0，
??1yy图4.9b???1。
在左侧的斜面上，x?ytg?，外法向方向余弦为 n1?cos?，n2??sin?，n3?0
把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件?ijnj?0，可解得：
d??1ctg2???，c?ctg?(??2?1ctg2?)。
4.6物体的表面由
f(x,y,z)?0确定，沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷
p(x,y,z)，试写出其边界条件。
解：物体表面上任意一点的外法向单位矢量为
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