二项式定理例题讲解

二项式定理例题讲解

例1．试求： （1）(x3－2x2)5的展开式中x5的系数； )6的展开式中的常数项；

（2）(2x2－1x（3）(x－1)9的展开式中系数最大的项； （4）在(3x?32)r100的展开式中，系数为有理数的项的个数．

5?r解：（1）Tr＋1＝C5(x)3(?2x2)?(?2)C5xrrr15?5r

依题意15－5r＝5，解得r＝2 故(－2)2C5＝40为所求x5的系数

r（2）Tr＋1＝C6(2x2)6

r－ r

(?1x)＝(－1)·2

rr6－ r

·C6xr12?3r

依题意12－3r＝0，解得r＝4

故(?1)·22C6＝60为所求的常数项．

42r（3）Tr＋1＝(?1)C9xr9?r

∵C9?C9?126，而(－1)4＝1，(－1)5＝-1

45∴ T5＝126x5是所求系数最大的项 （4）Tr＋1＝Cr100(3x)100?r(2)?C3rr100?350?r2r?2x3100?r,

要使x的系数为有理数，指数50－r2与

r3都必须是整数，

因此r应是6的倍数，即r＝6k（k∈Z）， 又0≤6k≤100，解得0≤k≤16

23（k∈Z）

∴x的系数为有理数的项共有17项．

评述 求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r的值或取值范围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．

例2．试求：

（1）(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数；

（2）(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5的展开式中x2的系数；

??1?（3）x??2?的展开式中的常数项. ??x??3解：（1）∵ (x＋2)10＝x10＋20x9＋180x8＋…

∴ (x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数是－1＋180＝179 （2）∵ (x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5

＝

(x?1){1?[?(x?1)]}1?[?(x?1)]5?(x?1)?(x?1)x6

∴所求展开式中x2的系数就是(x－1)6的展开式中x3的系数?C6＝-20

3??1?（3）∵ x??2???x??3?=???x??1? ?x?36∴ 所求展开式中的常数项是-C6＝－20

评述 这是一组将一个二项式扩展为若干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．

例3．（1）已知(1＋x)n的展开式中，x3的系数是x的系数的7倍，求n的值；

（2）已知(ax＋1)7（a≠0）的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差

中项，求a的值；

(3)已知(2x＋x31gx)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x的值．

1解：（1）依题意Cn?7Cn，即

n(n?1)(n?2)6＝7n

由于n∈N，整理得n2－3n－40＝0，解得n＝8 (2) 依题意C7a?C7a?2C7a

由于a≠0，整理得5a2－10a＋3＝0，解得a＝1±

44lgx4523443105

（3）依题意T5＝C8(2x)(x整理得x4(1

＋lgx)

)＝1120，

＝1，两边取对数，得

lg2x＋lgx＝0，解得lgx＝0或lgx＝－1

∴x＝1或x＝

110

评述 (a＋b)n的展开式及其通项公式是a，b，n，r，Tr＋1五个量的统一体，已知与未知相对的，运用函数与方程的思想方法，应会求其中居于不同位置，具有不同意义的未知数．

例4．（1）若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4

则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值等于 ；

（2）1＋2C10?4C10???2C10＝ ． 解（1）令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2?3)，

41210104

令x＝-1，得a0-a1＋a2-a3＋a4＝(3?2)， 由此可得(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2

＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)( a0－a1＋a2－a3＋a4) ＝[(3?2)(3?2)]4＝1

（2）在(1＋x)＝?C10x中，

r?010

10rr令x＝2，得1＋2C10?4C10???2C10?312101010?59049

评述 这是一组求二项式系数组成的式子的值的问题，其理论依据是(a＋b)n＝

n?r?10Cnarn?rb为恒等式．

r