第一章整式的运算（教师版）

第一章 整式的运算

1 整式

新知识记 1.整式及有关知识

（1）定义：单项式和多项式统称整式. （2）单项式

①定义：数字与字母的乘积.

②次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.

③系数：单项式中的数字因数即为单项式的系数. （3）多项式

①定义：几个单项式的和叫做多项式. ②次数：

一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数. ③项数：

一个多项式中有几个单项式就有几项. 典例精析

例1：下列整式中，次数与项数相同的有哪些？

①7 ②-x ③1-s2+3t ④πx+1 ⑤

课前热身 前课之鉴

1.某校学生总数为x,其中女生人数占总数的

25，女生人数为

2x ； 522.一个长方体的底面是边长为a的正方形，高是h，表面积是 2a?4ah

课内过关 练习精选

3. 下列说法正确的是（ D ）

A.单项式A的系数是0 B.单项式a的次数是0 1C.是单项式 D.1是单项式 a4. 下列代数式中整式有( B )

1x, 2x+y,

12x?yab, 3?12,

5y, 0.5, a 4x

D.7个

A.4个 B.5个 C.6

5.多项式a2－ab2－b2有__3___项，其中－

12ab2的次数是___3__.

6.小明家去年结余6000元，估计今年可结余10000元，并且今年收入比去年高15%，支出比去年低10%.

(1)若去年支出x元，求去年收入多少元？今年的收入和支出各多少？ (2)若今年支出x元，则今年收入多少元，去年的收入和支出各多少？ 解：（1）去年收入(6000+x)元,今年收入(1+15%)(6000+x)元,今年支出0.9x元; (2) 今年收入(10000+x)元, 去年的收入

课外闯关 能力拓展

10000+x1?15%元，去年支出

x1?10%元

7.下面说法中正确的是（ B ）

A.一个代数式不是单项式，就是多项式 B.单项式是整式 C.整式是单项式 D.以上说法都不对

【点拨】先分别找出每小题的次数与项数，

8. 下列说法错误的是（ D ）

A．单项式a的系数和次数都是1 B.数字0也是单项式 再判断它们是否一致.

①单项式，次数是0. ②单项式，次数是1（一致.） ③多项式，二次三项式. ④多项式，一次二项式.

注意：πx是第一项，是一次的.π只能出现在某一个单项式或项的系数中. ⑤多项式，三次三项式（一致）. ⑥单项式，次数是2. 解：次数与项数相同的②⑤. 例2 ：若?2axyn?132xyab-2bc+3 ⑥56C．?2xy3是系数为?22的二次单项式 D.?x是多项式 3x9.若-3axym是关于x、y的单项式，且系数为-6，次数为4，则

a=___2_____,m=__3_ .

?x7y?x6y2?x5y3?...，按照此规律些写下去，则

7这个多项式的第八项是 ?xy .

10.有一个多项式x11.已知多项式a281k（）?1的值。?2kab?3b2?a?12不含ab的项，求 3解：根据题意得：k=0

（所以

1k）?1=0 3是关于x、y的单项式，

12. 如图，长方形的ABCD的长是a，宽为b，在长方形内画两个扇形，大扇形的半径为b，求图中阴影部分的面积.

且系数为-6，次数为3， 则a=________,m=________.

【点拨】 “关于x、y的单项式”说明只有

1

x、y才是单项式中的字母，a只是系数的一部分，所以-2a是系数，也就是-6,即-2a=-6,解得：a=3.而单项式的次数是x、y的指数和：（1+n），也就是3.因此1+n=3得n=2.

解：a=3,n=2 疑误剖析

1.单独一个非零数的次数是0.

2.单独的一个数或一个字母也是单项式 方法导析

根据定义，区分单项式与多项式； 分清楚单项式的次数与系数； 区分多项式的项，次数.

疑难思考 思维拓展

.13. 当a为何值时，化简代数式(2?9a)y的二次三项式？

4Da第12题图解：S阴影?ab?b?a24??b24

?2ay2?y?5可以得到关于y

解：根据题意：2?9a?0 9?a?22 整式得加减 第1课时

新知识记

去括号法则1：括号前是“＋” ，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号．

去括号法则2：括号前是“－” ，把括号

2.

课前热身 前课之鉴

1.单项式是__数与字母___的乘积.如

2?3a2,系数是_

2?3__，次数是__2_____. 12

x+2y-1是__多项_式，有____3____项，次数是____2__ 3课内过关 练习精选

和它前面的“－”号一起去掉，括号里各3.下列各式计算结果正确的是（ C ）

A．3a2－2a2=1 B.3a2－2a2=a

222 22项都变号． C.3a－2a=aD.3a－2a=2a 2mn

合并同类项的法则是：同类项的系数相加，4. 2xy与－3xy是同类项，则m=__1___,n=_2____. 所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 典例精析

5.求代数式?2x2?3xy?1221213y与?x2?4xy?y2得差 22212x?4xy?32y22解：(?x?3xy???x?3xy???122y)?(?12232y)

2例1求

1125x-29x+10y与x2+13x-5y2212y?22x?4xy?的2倍的差.

【点拨】：“??与??的差”是用前面整

式减后面整式，(注意)被减数与减数.在列式进行多项式的加减时必须加括号。

26. 化简求值5x2－［(x2+5x2－2x)－2(x2－3x)］,其中x=－0.5.

x?xy?y解：原式?5x2－［(x2?5x2－2x)－(2x2－6x)］ = x2?4x 当x??0.5时，原式??

解：

1125x-29x+10y-2(x2+13x-5y) 227411=x2-29x+10y-5x2-26x+10y 2 2

1=x2-55x+20y 2例2若A=3x+2x-1,B=1-x+x,求A-2B的值，其中x=-3

2

2

课外闯关 能力拓展

7. 若a＜0,b＞0，且|a|＜|b|,则下列整式的值中为负数的是( B )

A. a+b B. a－b C . b－a D.|a－b|

222

8.一个多项式加上ab－3b等于b－2ab+a，则这个多项式为( A )

A.4b2－3ab+a2 B.－4b2+3ab－a2

22 22

C.4b+3ab－aD.a－4b－3ab

9. 实数a、b、c在数轴上的对应点如图，化简a+|a+b|－|b－c|－|b+c－a|=b-a_____.

第9题图

10.如果代数式3a212.

【点拨】：先列出式子，化简之后再代入数值求值.

解：A-2B=(3x3+2x2-1)-2(1-x+x2) =3x3+2x2-1-2+2x-2x2 =3x3+2x-3 当x=-

?2a?1的值是5，则代数式6a2?4a?9= -1

11.当a-b=7，ab=-1时，求（3a+2b-5ab)-(a+4b+ab)-(3ab+2b-2a)的值.解：原式=（3a+2b-5ab)-(a+4b+ab)-(3ab+2b-2a) =3a+2b-5ab-a-4b-ab-3ab-2b+2a =4a-4b-9ab 当a-b=7，ab=-1时 原式=4（a-b)-9ab=37

12.当

1时 211原式=3×(-)3+2×(-)-3

22=3×(-

1)-1-3 83=--4 83=-4

8疑误剖析

在去括号时，如果括号前面是是“－”号，

1x?1y?5时，求3x?2xy?3yx?5xy?y的值

解：??1x?1y?5??y?xxy?5，即y-x=5xy??15xy?2xy?5xy?5xy?1310

3x?2xy?3yx?5xy?y（3x?y)?2xy(x?y)?5xy

去掉“－”号和括号，里面的各项都变号。

方法导析

1.括号前是“－”号，去掉“－”号和括疑难思考 思维拓展

213. 明明在做一道数学题：两个多项式A、B，其中B=3x?7x?9，试求

号，里面的各项都变号；

2A+B，明明误将“A+B”看成“A-B”,结果得到答案为：12x?9x?15，你

2.在列算式时，突出括号的整体作用；

能求出A+B的正确答案吗？

223.在求解一些整式时，注意用逆运算或方解：?A-B=12x?9x?15,且B=3x?7x?9程的思想.

?A+B=A-B+2B=(12x?9x?15)+2(3x?7x?9)=12x?9x?15+6x?14x?18=?3x-2x?3

22222

3

第2课时

新知识记:

课前热身 前课之鉴

1. 一个多项式减去5ab－3b等于2a－2ab+b,这个多项式是2a2

2

2

1.整式加减的实质就是：去括号、合2.整式加减运算的步骤是：①如果有

括号，用去括号法则或分配律，先去括号；②合并同类项。 典例精析

例1:若A=3x3+2x2-1,B=1-x+x2,求A-2B

2?3ab?2b2___.

____.

并同类项进行化简，其结果也是整式. 2. 若3a3bn?5amb4所得的差是单项式，则这个单项式是___?2a3b4课内过关 练习精选

2

3. 减去?2x后，等于4x－3x－5的代数式是 （ C ） A.4x－5x－5 B.－4x＋5x＋5 C.4x－x－5 D.4x－5

2

2

2

2

4. 若代数式2y2?3y?7的值为18，则4y2?6y?9= 2

321)－2p3?p 5.计算：(1).7(p?p－p－1的值，其中x=-2入数值求值.

.

??解原式=7p3?7p2－7p－7)－2p3?2p?5p3?7p2?9p?7

【点拨】先列出式子，化简之后再代

??

解：A-2B=(3x+2x-1)-2(1-x+x)

=3x+2x-1-2+2x-2x =3x3+2x-3 当x=-3

2

2

322

1（2）-(m2n?m3)－2(－m2n－m3)

213232解原式=-(mn?m)－2(－mn－m)2?-mn?m?2mn?m2312时

23

1原式=3×(-2=3×(-

1)+2×(-23

)-3

?mn

6. 已知：A=2x?5xy?3y,B?4x?7xy?4y且A+B-C=0，求C

222221)-1-3 8解：A=2x?5xy?3y,B?4x?7xy?4y且A+B-C=0?C=A+B=(2x?5xy?3y222222=—

3—4 8)+(4x2?7xy?4y2)

=-4

3 8xy=2,求代数式x?y=6x?2xy?7y22例2: 已知

课外闯关 能力拓展

7. 若A和B都是五次单项式，则A+B是（ D ）． A.次多项式 B.4次多项式

C.次数不低于5次的多项式 D.次数不高于5次的多项式或单项式 8. 若k是整数，则多项式4k?2k23x?5xy?3y的值.

?x?3xy?y【点拨】此题运用了“整体”代换的思想，把xy和x+y分别看作“整体”，添括号在形成“整体”的过程中起了很重要的作用.

8?6k3?2减去3(2k3?k2?3k?)的差

3一定是（C ）

A.奇数 B.偶数 C.5的倍数 D.以上答案都不对

9.当a－b=－1，ab=－2时，(2a－3b－ab)－(a－2b＋3ab)= 7 .

xy解：由=2,得xy=2(x+y)

x?y3x?5xy?3y3(x?y)?5xy=

?x?3xy?y?(x?y)?3xy122k?3a2b3k?110.当k= 2 时，单项式?ab与是同类项。

34211. 有一道题目是一个多项式减去x?14x?6，小强误当成了加法计算，结果

2得到2x?x?3。正确的结果应该是多少？

4