下出现的，并近似地认为刚体的总角动量就是它绕对称轴自旋的角动量。事实上陀螺在旋进过程中它的总角动量应该是自旋角动量和旋进角动量的矢量和。所以在实际过程中，陀螺在进动的基础上，还伴有上下周期运动的章动。如图4所示。
同理，地球是一个庞大的不停地旋转着的“陀螺”。因为地球的赤道部分向外凸出，赤道面与地球绕太阳旋转的黄道面以及与月球绕地球转动的白道面都互不重合。这样，月球和太阳大部分时间都位于赤道以南或赤道以北，它们对地球赤道部位凸出处的引力就必然会对地球产生一个力矩，强迫地球的赤道面向黄道面和白道面靠近。但是，地球在快速自转着，月球和太阳对地球赤道隆起部分吸引的结果，便使地球的自转轴画出一个以地心为顶的对顶锥。所以地球自转轴绕黄极运动情况跟陀螺一样，进动和章动的共同影响使得真天极绕着黄极在天球上描绘出一条波状曲线，如图5所示。
但陀螺的进动方向与自转方向是一致的，都是自西向东；而地球地轴的进动方向与自转方向相反，地轴进动方向为自东向西，自转方向为自西向东。这是因为陀螺在重力的作用下有“倾倒”的趋势，而地轴在太阳和月球的引力作用下，有“直
立”的趋势。
地轴进动使北天极不能固定在某一个恒星位置，而在天球上沿一个小圆绕黄极作缓慢移动，约26000年绕行一周。离北天极最近的恒星被称为北极星。现在的北天极在
5
小熊座?位置，它就是现在的北极星。然而在公元前2500年的时候，北极星是天龙座 ?星；到公元3500年，北极星将是仙王座? 星；公元13600年时，北天极将指
[6]向天琴座?星，如图6所示。
2.2地球章动分析
地球自转轴沿光滑圆锥面进动，是只单独考虑月球和太阳的作用，实际情况要复杂得多。对地球自转轴施加外力的不仅有月球和太阳，还有各大行星。日、月、行星的轨道各有各的平面。行星到地球的距离也变化多端，联合作用力的大小和方向是复杂多变的。加之地球本身不是严格的刚体，内部质量分布也不均匀，使得地球自转轴的空间运动也很复杂。天文学上把太阳和月球对地
球赤道隆起部分的吸引而引起的地轴长期运动成为日月岁差，而把其它复杂的摆动统归为章动。月球绕地球公转的轨道面（白道面）位置的变化是引起章动的主要原
?因，黄道面和白道面并非在同一个平面，两者有509'的交角，这个交角叫做黄白交
角。黄道和白道相交的两点叫做黄白交点。其中一个交点，即月球从黄道面下面向黄道面上面运行时所通过的一点，叫做升交点；反之，另一点叫做降交点。黄白交
??角是个可变值，它是在 451'?509'之间有规律地变化着。黄白交点在黄道上也是不
固定的，白道的升交点沿黄道向西运动，每月在黄道上向西退行106'，如图7所示，约18.6年绕行一周，因而月球对地球的引力作用也有同一周期的章动。在天球上表现为真天极在绕黄极运动的同时，还围绕其平均位置（平天极）做周期18.6年的的运动。同样，太阳对地球的位置也有周期性的变化，并引起相应周期的章动。由太阳和月球所引起的章动称为日月章动，由太阳系内其它行星的吸引所引起的章动称为行星章动。
2.3自转轴进动周期的近似计算
地球并不是理想圆球，它的两极是扁的，“赤道环”上聚集了一些“多余质量”，且黄赤交角为2326'，由于上述原因，太阳对地球
?? 6
上靠近它的一面引力比远离的那一面大，这样便产生了一个使地球自转轴进动的力矩。
假设地球的“多余质量”2?m地均集中在赤道的两个对称点上，如图8所示。根据万有引力定律，太阳对“远点”和“近点”质量?m地的引力大小分别为：
F?GM?m地(R??R)2 （1） GM?m地(R??R)2 （2）
F'?其中G为引力常量，M是太阳的质量R为太阳到地球的距离，?R是?m地到过地心的黄道法线的距离。 利用展开式得:
1?1?x1?x2?x3???(?1)nxn??1?x (-1 11?1?x?1?xR???R因为，故可取1?x，1?x，所以得： F? F'?GMm地?RR1?R22?GM?m地?RR1?2R22?GM?m地?R1?2R2R （3） GMm地?RR1?R22?GM?m地?RR1?2R22?GM?m地?R1?2R2R （4） F与F'的合力矩为： ?? M?F'rsin23?Frsin23 ?2GM?m地2?R?rsin23RR2 4GM?m地r2sin23?cos23?= R3 （5） 7 （式中r为地球半径） 3考虑到“多余质量”分布在赤道附近的环形区内，r的平均值略小些，可取2r， 仅冬至与夏至时力矩取最大值，春分与秋分时力矩均为零（当地轴从图3位置绕黄道法线转过90，春分与秋分时力矩获最大值，冬至与夏至时力矩取零），一年内可 ?13取平均值2，因此力矩的平均值约为（5）式乘以8 ，即： M?34GM?m地2??8R3rsin23cos23 根据牛顿定律，太阳对地球的引力为 GMm地m地v2R2?R 由于地球绕行周期为一年，即 T'?2?RV=1(年) GM4?2由（7）（8）式可得：R3?T'2 把（9）式代入（6）式得： M?3(4?)2?m地2??8T'2rsin23cos23 因地球质量近似呈球形分布，它的角动量为 J??2m22?4?1地r2??5m地r2T\?5m地r25T\ （?是地球的自转角速度，T\是地球自转周期） 上述力矩仅改变地球角动量在轨道平面内的分量 方向，如图9所示，这就是地轴产生进动现象的 原因。根据角动量定理有： M?Jsin23?d?2dt??'Jsin23???TJsin23? （12） 8 （6） （7） （8） （9） 10） 11） （（
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