第6讲 对数与对数函数
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．如果log1x＜log1y＜0，那么
2
2
B．x＜y＜1 D．1＜y＜x
( )．
A．y＜x＜1 C．1＜x＜y
2
2
2
解析 ∵log1x＜log1y＜log11，又y＝log1x是(0，＋∞)上的减函数，∴x＞y＞
2
1. 答案 D
2．(2014·深圳调研)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝log3(1 ＋x)，则f(－2)＝ A．－1 C．1
B．－3 D．3
( )．
解析 f(－2)＝－f(2)＝－log33＝－1. 答案 A
ln26ln2π3．(2013·宣城二模)若a＝4，b＝ln 2×ln 3，c＝4，则a，b，c的大小关 系是
A．a＞b＞c C．c＞b＞a
B．c＞a＞b D．b＞a＞c
( )．
2
?ln 2＋ln 3?2ln6
?＝解析 ∵ln 6＞ln π＞1，∴a＞c，排除B，C；b＝ln 2·ln 3＜?
42??
＝a，排除D. 答案 A
4．若函数g(x)＝log3(ax2＋2x－1)有最大值1，则实数a的值等于
( )．
1A.2 1C．－4
1B.4 D．4
解析 令h(x)＝ax2＋2x－1，由于函数g(x)＝log3h(x)是递增函数，所以要使函数g(x)＝log3(ax2＋2x－1)有最大值1，应使h(x)＝ax2＋2x－1有最大值3，a＜0，??Δ＝4＋4a≥0，
因此有?
－4a－4??4a＝3，答案 C
5．已知f(x)＝loga[(3－a)x－a]是其定义域上的增函数，那么a的取值范围是
( )．
A．(0,1) B．(1,3)
C．(0,1)∪(1,3) D．(3，＋∞) 解析 记u＝(3－a)x－a，
当1＜a＜3时，y＝logau在(0，＋∞)上为增函数， u＝(3－a)x－a在其定义域内为增函数， ∴此时f(x)在其定义域内为增函数，符合要求． 当a＞3时，y＝logau在其定义域内为增函数， 而u＝(3－a)x－a在其定义域内为减函数， ∴此时f(x)在其定义域内为减函数，不符合要求．
当0＜a＜1时，同理可知f(x)在其定义域内是减函数，不符合题目要求．故选B. 答案 B 二、填空题
?2?
6．函数y＝log1(3x－a)的定义域是?3，＋∞?，则a＝______.
??2
a
解析 要使函数有意义，则3x－a＞0，即x＞3， a2
∴3＝3，∴a＝2.
1
解得a＝－4，此即为实数a的值．
答案 2
2
?2a，x＜2，
7．已知f(x)＝?且f(2)＝1，则f(1)＝________. 2
?loga?x－1?，x≥2，
解析 ∵f(2)＝loga(22－1)＝loga3＝1， ∴a＝3，∴f(1)＝2×32＝18. 答案 18
8．(2014·深圳中学模拟)定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则不等式f(x)＜－1的解集是________． 解析 当x∈(－∞，0)时，则－x∈(0，＋∞)， 所以f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)
?log2x，x＞0，∴f(x)＝?0，0，
?－log2?－x?，x＜0，
?x＞0，?x＝0，?x＜0，
由f(x)＜－1，得?或?或?
?log2x＜－1?0＜－1?－log2?－x?＜－1，1
解得0＜x＜2或x＜－2. 答案
??1
?x|0＜x＜，或x＜－2?
2??
三、解答题
9．已知f(x)＝log4(4x－1)． (1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的单调性；
?1?
(3)求f(x)在区间?2，2?上的值域．
??解 (1)由4x－1＞0解得x＞0， 因此 f(x)的定义域为(0，＋∞)． (2)设0＜x1＜x2，则0＜4x1－1＜4x2－1，
因此log4(4x1－1)＜log4(4x2－1)，即f(x1)＜f(x2)，f(x)在(0，＋∞)上递增． ?1??1?
(3)f(x)在区间?2，2?上递增，又f?2?＝0，f(2)＝log415，
????
?1?
因此f(x)在?2，2?上的值域为[0，log415]．
??ax－2
10．已知函数f(x)＝log1(a为常数)．
2x－1(1)若常数a<2且a≠0，求f(x)的定义域；
(2)若f(x)在区间(2,4)上是减函数，求a的取值范围． 解 (1)由题意知
ax－2
>0，当0 22 解得x<1或x>a；当a<0时，解得a ???2 时，f(x)的定义域为?x?x<1，或x>a ??? ?? ?； ?? ??2? 时，f(x)的定义域为?x?a ??? ?? ?. ?? (2)令u＝ ax－2 ，因为f(x)＝log1u为减函数，故要使f(x)在(2,4)上是减函数，x－12 ax－2a－2 只需u(x)＝＝a＋在(2,4)上单调递增且为正． x－1x－1 ?a－2<0， 故由?2a－2 u?2?＝≥0， 2－1? 得1≤a<2.故a∈[1,2)． 能力提升题组 (建议用时：25分钟) 一、选择题 1．(2014·河南洛阳二模)如果一个点是一个指数函数和一个对数函数的图象的交 ?11?点，那么称这个点为“好点”．下列四个点P1(1,1)，P2(1,2)，P3?2，2?，P(2,2) ??4中，“好点”的个数为 A．1 C．3 B．2 D．4 ( )． 解析 设指数函数和对数函数分别为y＝ax(a＞0，a≠1)，y＝logbx(b＞0，
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