漳州正兴学校第一届清北班全国历年竞赛试卷——2015年全国竞赛试题 漳州正兴学校第一届清北班全国历年竞赛试卷——2015年全国竞赛试题
2015年福建省初中数学竞赛
考试时间 2015年3月15日 9∶00－11∶00 满分150分
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
2a3?6a2?a3?1?（ ） 1．已知a?，则8．若1?x?3时，二次函数y?2x2?3ax?4的最小值为?23，则a? 。
q)的个数是 。 9．已知正整数p，q满足p?3q?2016，则整数对(p，??x???2x???x2?，???10．?x?表示不超过x的最大整数，则满足条件?的x的取值范围5?x??2为 。
22a2?1A．?3 B．3 C．?3?2 D．3?2
2．将编号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子内，每个盒子放2个球。
则编号为1，2的小球放入同一个盒子内的概率为（ ）
A．215 B．1235 C．5 D．5
3．已知圆O是边长为63的正三角形ABC的内切圆，圆O1圆O外切，且与△ABC的CA边、CB边相切，则圆O1的面积为（ ）
A．? B．2? C．3? D．4?
4．如图，P为等腰三角形ABC内一点，过P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足
分别为D、E、F。已知AB?AC?10，BC?12，且PD∶PE∶PF?1∶∶33。则四边形PDCE的面积为（ ）
A．10 B．15 C．
40503 D．3 5．记S(n)为非负整数n的各个数位上的数字之和，如S(0)?0，S(1)?1，
S(1995)?1?9?9?5?24。则S(1)?S(2)?S(3)?L?S(2015)?（ ）
A．28097 B．28098 C．28077 D．28087 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．已知直线y?2x?3与抛物线y?2x2?3x?1交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则
1x1?1x1? 。 1?2?7．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边BC、CD上，且?EAF?45?。则△CEF的周长为 。
1
三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）
11．如图，二次函数y?mx2?nx?p的图像过A、B、C三点，其中C(?1，?1)，点A、B在x轴上（A在点O左侧，B在点O右侧），且sin?BAC?255，sin?ABC?55。
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△ABC外接圆的半径。
12．已知关于x的方程x2?44x?n2?n?20?0有有理数根，求正整数n的值。
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△ABC是等腰直角三角形，CA?CB，点N在线段AB上（与A、B不重合），点
在射线BA上，且?NCM?45?。求证：MN2?AM2?BN2。
14．在0与21之间插入n个正整数a1，a2，…，an，使其满足0?a1?a2?L?an?21。若1，2，3，…，21这21个正整数都可以表示为0，a1，a2，…，an，21这n?2个数中某两个数的差。求n的最小值。
2
13．如图，M
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2015年福建省初中数学竞赛试题参考答案
考试时间 2015年3月15日 9∶00－11∶00 满分150分
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．已知a?3?12a3?6a22，则?a2a2?1?（ ） A．?3 B．3 C．?3?2 D．3?2 【答案】 A 【解答】 由a?3?12，知2a?3?1，2a?1?3，4a2?4a?1?3，2a2?1?2a。 ∴ 2a3?6a2?a2a2?1?2a3?6a2?a?2a??a2?3a?12??1?2a2?3a?12
??2a?1??(3?1)?1??3。
2．将编号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子内，每个盒子放2个球。
则编号为1，2的小球放入同一个盒子内的概率为（ ）
A．215 B．15 C．25 D．35
【答案】 B
【解答】 将6个小球分成3堆，每堆2球，共有下列15种不同的分堆方法（堆与堆之
间不考虑顺序）：(1，2)，(3，4)，(5，6)；(1，2)，(3，5)，(4，6)；(1，2)，(3，6)，(4，5)； (1，3)，(2，4)，(5，6)；(1，3)，(2，5)，(4，6)；(1，3)，(2，6)，(4，5)； (1，4)，(2，3)，(5，6)；(1，4)，(2，5)，(3，6)；(1，4)，(2，6)，(3，5)； (1，5)，(2，3)，(4，6)；(1，5)，(2，4)，(3，6)；(1，5)，(2，6)，(3，4)； (1，6)，(2，3)，(4，5)；(1，6)，(2，4)，(3，5)；(1，6)，(2，5)，(3，4)。 其中，编号为1，2的小球分在同一堆的情形有3种。
∴ 编号为1，2的小球放在同一个盒子内的概率为3115?5。
3．已知圆O是边长为63的正三角形ABC的内切圆，圆O1圆O外切，且与△ABC的CA边、CB边相切，则圆O1的面积为（ ）
A．? B．2? C．3? D．4?
【答案】 A
【解答】 如图，设圆O切CB边于D，圆O1切CB边于E，且圆O的半径为R，圆O1的半径为r。
由△ABC是边长为63的正三角形，知
OC?23?32?63?6，R?OD?133?2?63?3，
∵ 圆O1圆O外切，且与△ABC的CA边、CB边相切， ∴ O、O1、C三点共线，?OCD?30?，OC1?2O1E?2r。 ∴ OC?OO1?OC1?R?r?2r?3?3r?6，r?1。 （第3题答题图）
∴ 圆O1的面积为??12??。
4．如图，P为等腰三角形ABC内一点，过P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足
分别为D、E、F。已知AB?AC?10，BC?12，且
PD∶P∶E?P1∶∶F3。则四边形3PDCE的面积为（ ） A．10 B．15 C．
40503 D．3 【答案】 C
【解答】如图，连结PA，PB，PC。
（第4题 图）
易知S1△ABC?2?12?8?48。又
S111△ABC?S△PBC?S△PCA?S△PAB?2BC?PD?2CA?PE?2AB?PF
?6PD?5PE?5PF?48，PD∶PE∶PF?1∶∶33。
∴ PD?43，PE?PF?4。 由PE?PF，知点P在?BAC的平分线上，A、P、D三点共线。 （第4题答题图） ∴ PC2?PD2?DC2，EC2?PC2?PE2?PD2?DC2?PE2?(4)21963?62?42?9。 3
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∴ EC?143。 ∴ S1四边形PDCE?S△PDC?S△PEC?2PD?DC?12PE?EC?12?43?6?12?4?143?403。 5．记S(n)为非负整数n的各个数位上的数字之和，如S(0)?0，S(1)?1，S(1995)?1?9?9?5?24。则S(1)?S(2)?S(3)?L?S(2015)?（ ）
A．28097 B．28098 C．28077 D．28087 【答案】 B
【解答】设S?S(0)?S(1)?S(2)?L?S(1999)。 则2S?(1?9?9?9)?2000，S?28000。
又S(2000)?S(2001)?S(2002)?L?S(2009)?2?10?(0?1?2?L?9)?65，
S(2010)?S(2011)?S(2012)?S(2013)?S(2014)?S(2015)?3?4?5?6?7?8?33，
∴ S(1)?S(2)?S(3)?L?S(2015)?28000?65?33?28098。 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．已知直线y?2x?3与抛物线y?2x2?3x?1交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则
1x1?1x? 。 1?2?1【答案】
95 【解答】由??y?2x?3?2x?3x?1，得?y22x2?5x?2?0。 …………… ① 依题意，x51，x2为方程①的两根，x1?x2?2，x1x2??1。 5∴ 1(x)?x(?22?11?1)x1?(x1?)22x?1x????9。
1?12?1x(1?1x)(?21)xx1?2x?(x1?2)?11?552?17．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边BC、CD上，且?EAF?45?。则△CEF的周长为 。
【答案】 2 【解答】如图，在CD的延长线上取点G，使得DG?BE，连结GA。
则由ABCD为正方形，易得△ABE≌△ADG。
∴ ?BAE??DA，
GAE?AG。 ∵ ?EAF?45?，
（第7题 图） ∴ ?GAF??GAD??DAF??BAE??DAF
?90???EAF?45???EAF。
于是，在△EAF与△GAF中，AE?AG，?EAF??GAF，AF?AF。
∴ △EAF≌△GAF，EF?GF。△CEF的周长
l?EC?EF?FC?1?BE?GF?FC?1?GD?GD?DF?FC?2。 （第7题答题图） 8．若1?x?3时，二次函数y?2x2?3ax?4的最小值为?23，则
a? 。
【答案】 5
【解答】∵ y?2x2?3ax?4?2(x?3a)294?8a2?4，1?x?3，
∴ 若34a?1，即a?43时，则当x?1时，y取最小值6?3a。
由6?3a??23知，a?293?43，不符合要求。 若1?343994a?3，即3?a?4时，则当x?4a时，y取最小值?8a2?4。由?8a2?4??23知，a2?24，得a??26，均不符合要求。
若34a?3，即a?4时，则当x?3时，y取最小值22?9a。由22?9a??23知，a?5，符合要求。
∴ a?5。
9．已知正整数p，q满足p?3q?2016，则整数对(p，q)的个数是 。 【答案】 3
【解答】由p?3q?2016，知p?2016?3q，p?2016?62016q?9q。 由p，q为正整数知，2016q?1214p为整数。
∴ p?14x2（其中x为正整数）。同理，q?14y2（y为正整数）。 于是，x?3y?12（x，y为正整数）。
∴ ??x?9，?x?6?x?3?y?1?，?y?2?。
?y?3∴ 满足条件的整数对(p，q)?(14?81，14?1)，或(14?36，14?4)，或(14?9，14?9)。 4
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