∴ DE∶BD＝AE∶CD， ∴ DE·DC＝AE·BD. 变式训练
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝15，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点，垂足为E，求sin∠CAD的值．
解：在Rt△ABC中，BC＝3，AC＝15，AB＝15＋9＝26.
BCAB326
易证得△ABC∽△DBE，∴ ＝＝，
BEDB6BD∴ BD＝4
CD＝1，AD＝4，
CD1
∴ sin∠CAD＝＝.
AD4
题型3 射影定理的应用
, 3) 已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，DE
3
⊥AC于E，DF⊥BC于F.求证：AE·BF·AB＝CD.
422
证明：∵ ∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴ CD＝AD·BD，故CD＝AD·BD.又在Rt△ADC中，
224
DE⊥AC，Rt△BDC中，DF⊥BC，∴ AD＝AE·AC，BD＝BF·BC.∴ CD＝AE·BF·AC·BC.∵ AC·BC
43
＝AB·CD，∴ CD＝AE·BF·AB·CD，即AE·BF·AB＝CD.
备选变式（教师专享）
如图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，交AD于F，DFAE求证：＝.
AFEC
2
证明：由三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比得，
DFBD
在△ABD中，＝，①
AFABAEAB
在△ABC中，＝，②
ECBC
BDAB2
在Rt△ABC中，由射影定理知，AB＝BD·BC，即＝.③
ABBC
DFAB
由①③得＝，④
AFBCDFAE
由②④得＝.
AFEC
a
1. 如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E、F分别为
2
线段AB、AD的中点，求EF的长．
解：连结DE和BD.
a
依题知，EB∥DC，EB＝DC＝，
2
∴ EBCD为平行四边形． ∵ CB⊥AB，∴ DE⊥AB.
又E是AB的中点，故AD＝DB＝a. ∵ E、F分别是AD、AB的中点，
11
∴ EF＝DB＝a.
22
2. 如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.
证明：由△ABC≌△BAD，得∠ACB＝∠BDA， 故A、B、C、D四点共圆，从而∠CAB＝∠CDB. 再由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA. 因此∠DBA＝∠CDB，所以AB∥CD.
3. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是中位线，BD交EF于P，已知EP∶PF＝1∶2，AD＝7 cm，求BC的长．
解：EF是梯形中位线，得EF∥AD∥BC， PEPEBE1PFFD1∴ ＝＝＝，＝＝. AD7AB2BCCD2
∵ PE∶PF＝1∶2, ∴ BC＝2PF＝14cm.
4. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的三等分点，AE的延长线交BC于F，S△BEF
求的值． S四边形DEFC
解：过D点作DM∥AF交BC于M，
BFBE1
因为DM∥AF，所以＝＝.
BMBD3S△BEF1
因为EF∥DM，所以＝，即S△BDM＝9S△BEF.
S△BDM9
11BM3
因为S△BDM＝BM·h，S△MDC＝MC·h，＝，
22MC2
S△DMC2所以＝.
S△BDM3
2S△BEF1
即S△DMC＝S△BDM＝6S△BEF，所以S四边形DEFC＝14S△BEF，因此＝.
3S四边形DEFC14
1. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD. (1) 求证：OE＝OF；
OEOE
(2) 求＋的值；
ADBC
112
(3) 求证：＋＝.
ADBCEF
(1) 证明：∵ EF∥AD，AD∥BC，∴ EF∥AD∥BC.
OEAEOFDF
∵ EF∥BC，∴ ＝，＝.
BCABBCDC
AEDFOEOF
∵ EF∥AD∥BC，∴ ＝.∴ ＝，∴ OE＝OF.
ABDCBCBC
OEBEOEAE
(2) 解：∵ OE∥AD，∴ ＝.由(1)知，＝，
ADABBCAB
OEOEBEAEBE＋AE∴ ＋＝＋＝＝1. ADBCABABAB
OEOE2OE2OE
(3) 证明：由(2)知＋＝1，∴ ＋＝2.
ADBCADBCEFEF
∵ EF＝2OE，∴ ＋＝2，
ADBC
112∴ ＋＝. ADBCEF
ABBCAC5
2. 如图所示，在△ABC和△DBE中，已知＝＝＝.
BDBEDE3
(1) 若△ABC与△DBE的周长差为10 cm，求△ABC的周长；
2
(2) 若△ABC与△DBE的面积之和为170 cm，求△DBE的面积．
ABBCAC5
解：(1) ∵ ＝＝＝，
BDBEDE3
∴ △ABC∽△DBE. △ABC的周长5∴ ＝. △BED的周长3
设△ABC的周长为5k cm，则△BED的周长为3k cm， ∵ 5k－3k＝10，即2k＝10.∴ k＝5. ∴ △ABC的周长为25 cm.
S△ABC?5?225
(2) 由(1)知△ABC∽△DBE，则＝??＝.
S△BED?3?9
22
设S△ABC＝25k cm，则S△BED＝9k cm，25k＋9k＝170， 解得k＝5.
2
∴ S△BED＝45 cm.
1
3. 如图，四边形ABCD是正方形，E是AD上一点，且AE＝AD，N是AB的中点，NF⊥
4
2
CE于F，求证：FN＝EF·FC.
证明：连结NC、NE，设正方形的边长为a，
115
∵ AE＝a，AN＝a，∴ NE＝a.
424
15
∵ BN＝a，BC＝a，∴ NC＝a.
2235
∵ DE＝a，DC＝a，∴ EC＝a.
445252252222
又NE＝a，NC＝a，EC＝a，
16416222
且NE＋NC＝EC，∴ EN⊥NC.
2
∵ NF⊥CE，∴ FN＝EF·FC.
4. 在梯形ABCD中，点E、F分别在腰AB、CD上，EF∥AD，AE∶EB＝m∶n.求证：(m＋n)EF＝mBC＋nAD.
你能由此推导出梯形的中位线公式吗？
解：如图，连结AC，交EF于点G. ∵ AD∥EF∥BC， DFAEm∴ ＝＝， FCEBnAEmCFn∴ ＝，＝. ABm＋nCDm＋n又EG∥BC，FG∥AD， AEEGmCFGFn∴ ＝＝，＝＝， ABBCm＋nCDADm＋n
mn
∴ EG＝·BC，GF＝·AD.
m＋nm＋n
又EF＝EG＋GF，∴ (m＋n)EF＝mBC＋nAD.
1
∴ 当m＝n＝1时，EF＝(BC＋AD)，即表示梯形的中位线．
2
比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的
相关推荐：
loading