∴ B、P、D、E四点共圆． 则AE·AB＝AD·AP.
32
∵ AE＝EB＝4，AD＝5，∴ AP＝.
5
题型3 证明线段相等
, 3) 如图，在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交
1
BC于点N.若AC＝AB，求证：BN＝2AM.
2
ACAM
证明： 在△ABC中，因为CM是∠ACB的角平分线，所以＝.
BCBM
1AB2AM
又已知AC＝AB，所以＝.①
2BCBM
又BA与BC是圆O过同一点B的割线，
BABN
所以BM·BA＝BN·BC，即＝.②
BCBM
2AMBN
由①②可知，＝，所以BN＝2AM.
BMBM
备选变式（教师专享）
(2014·南通期末)在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N，且BN＝2AM.求证：AB＝2AC.
证明：在△ABC中，因为CM是∠ACB的平分线，
ACAM所以＝.①
BCBM
因为BA与BC是圆O过同一点B的割线，
BABN
所以BM·BA＝BN·BC，即＝.
BCBM
BA2AM
又BN＝2AM，所以＝.②
BCBM
由①②，得AB＝2AC.
题型4 证明线段成比例
, 4) 如图，在△ABC中，∠B＝90°，以AB为直径的圆O交AC于D，过
点D作圆O的切线交BC于E，AE交圆O于点F.求证：
(1) E是BC的中点； (2) AD·AC＝AE·AF.
证明：(1) 连结BD，因为AB为圆O的直径，所以BD⊥AC.又∠B＝90°，所以CB切圆O于点B且ED切圆O于点D，因此EB＝ED，所以∠EBD＝∠EDB，∠CDE＋∠EDB＝90°＝∠EBD＋∠C，所以∠CDE＝∠C，得ED＝EC，因此EB＝EC，即E是BC的中点．
ABAE
(2) 连结BF，显然BF是Rt△ABE斜边上的高，可得△ABE∽△AFB，于是有＝，
AFAB
22
即AB＝AE·AF，同理可得AB＝AD·AC， 所以AD·AC＝AE·AF. 备选变式（教师专享）
(2014·苏州期末)如图，MN为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A、B、C、D、E，求证：AB·CD＝BC·DE.
证明：由相交弦定理，得
AC·CD＝MC·NC，BC·CE＝MC·NC， ∴ AC·CD＝BC·CE.
即(AB＋BC)·CD＝BC·(CD＋DE)，
即AB·CD＋BC·CD＝BC·CD＋BC·DE， ∴ AB·CD＝BC·DE.
1. 如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，求BC的值．
ABBC2
解：依题意易知△ABC∽△CDE，所以＝.又BC＝CD，所以BC＝AB·DE＝12，从而
CDDEBC＝23.
2. (2014·无锡期末)如图，锐角三角形ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点
3
E，若△ABC面积S＝AD·AE，求∠BAC的大小．
4
解：连结BE，由AD是∠BAC的平分线， ∴ ∠BAE＝∠CAE.
由圆周角结论，得∠AEB＝∠ACB，
∴ △ABE∽△ADC，∴ AD·AE＝AB·AC.
13
∴ S△ABC＝AB·ACsin∠BAC＝AD·AE，
243
. 2
π?π?∵ ∠BAC∈?0，?，∴ ∠BAC＝.
2?3?∴ sin∠BAC＝
3. (2014·南通一模)如图，△ABC内接于圆O，D为弦BC上的一点，过D作直线DP∥CA，交AB于点E，交圆O在A点处的切线于点P.求证：△PAE∽△BDE.
证明：因为PA是圆O在点A处的切线， 所以∠PAB＝∠ACB.
因为PD∥AC，所以∠EDB＝∠ACB， 所以∠PAE＝∠PAB＝∠ACB＝∠BDE. 又∠PEA＝∠BED，故△PAE∽△BDE.
4. 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D.
(1) 证明：DB＝DC；
(2) 设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
(1) 证明：连结DE，交BC与点G. 由弦切角定理，得∠ABE＝∠BCE. ∵ ∠ABE＝∠CBE，
∴ ∠CBE＝∠BCE，∴ BE＝CE.
∵ DB⊥BE，∴ DE是直径，∠DCE＝90°. 由勾股定理可得DB＝DC.
(2) 解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，BD＝DC，故DG是BC的中垂线，∴ BG＝设DE中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°， ∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，
∴ CF⊥BF，∴ Rt△BCF的外接圆半径等于
3. 2
3. 2
1. 如图，圆O与圆O′内切于点T，点P为外圆O上任意一点，PM与内圆O′切于点M.求证：PM∶PT为定值．
证明：设外圆半径为R，内圆半径为r，作两圆的公切线TQ.
2
设PT交内圆于C，连结OP，O′C，则PM＝PC·PT，
2
PMPC·PTPC所以2＝＝. 2
PTPTPT
由弦切角定理知∠POT＝2∠PTQ，∠CO′T＝2∠PTQ， 则∠POT＝∠CO′T，所以PO∥CO′，
PCOO′R－rPMR－r所以＝＝，即＝，为定值．
PTOTRPTR
2. (2014·苏锡常镇一模)如图，圆O为四边形ABCD的外接圆，且AB＝AD，E是CB延
CDAB
长线上一点，直线EA与圆O相切．求证：＝.
ABBE
证明：连结AC.
∵ EA是圆O的切线，∴ ∠EAB＝∠ACB. ∵ AB＝AD，∴ ∠ACD＝∠ACB. ∴ ∠ACD＝∠EAB.
∵ 圆O是四边形ABCD的外接圆， ∴ ∠D＝∠ABE.
CDDA
∴ △CDA∽△ABE.∴ ＝.
ABBECDAB
∵ AB＝AD，∴ ＝.
ABBE
3. 如图，正三角形ABC外接圆的半径为1，点M、N分别是边AB、AC的中点，延长MN与△ABC的外接圆交于点P，求线段NP的长．
x
解：设正三角形ABC的边长为x，由正弦定理，得＝2，所以x＝3.延长PN交
sin60°
15－33??3?2?
圆于Q，则NA·NC＝NP·NQ.设NP＝t，则t·?t＋?＝??.所以t＝，即NP
42??2??15－3
. 44. (2014·泰州期末)如图，AB是圆O的一条直径，C、D是圆O上不同于A、B的两点，过B作圆O的切线与AD的延长线相交于点M，AD与BC相交于N点，BN＝BM.求证：
(1) ∠NBD＝∠DBM；
(2) AM是∠BAC的角平分线． ＝
证明：(1) ∵ AB是圆O的直径，∴ ∠ADB＝90°.
而BN＝BM△BNM为等腰三角形BD为∠NBM的角平分线∠DBN＝∠DBM. (2) BM是圆O的切线，
∠DBM＝∠DAB?
?
∠CBD＝∠CAD?∠DAB＝∠DAC∠DBC＝∠DBM??
AM是∠CAB的角平分线．
1. 与圆有关的辅助线的五种作法 (1) 有弦，作弦心距；
(2) 有直径，作直径所对的圆周角； (3) 有切点，作过切点的半径； (4) 两圆相交，作公共弦； (5) 两圆相切，作公切线．
2. 圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．
请使用课时训练(B)第2课时(见活页)．
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