2020年全国高中数学联赛四川预赛试题

2020年全国高中数学联赛四川预赛试题

一、填空题（每题8分，共64分）

uuuruuuruuur1. 设△ABC的外接圆的圆心为O，且3OA?4OB?5OC?0，则∠C的大小是_________.

2. 正四面体的4个表面上分别写有数字1，2，3，4，将4个这样的密度均匀的正四面体同时投掷于桌面上，与桌面接触的4个面上的4个数的和能被4整除的概率是_________. 3. 设函数f(x)?2x2?2x?41?2x2?4x?4(x?R)，则f(x)的最大值是_________.

4. 在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，0)，点P为圆(x?3)?(y?2)?1上任意一点，

22uuuruuuruuur设OP??OA??OB(?,??R)，则11??9?的最小值是_________.

5. 数列{an}满足：a0?6，an?1?[an]?数部分与小数部分)，则a2020?_________. 6. 已知正实数x,y满足

1 (其中[an]和{an}分别表示实数an的整{an}11??1，则x?y的最小值是_________. x?3y2x?y37. 设复数z?a?bi(a,b?Z)满足z?2?11i，则a?b＝_________.

8. 用[x]表示不超过实数x的最大整数，若数列{an}满足：an?[(2?3)2](n?N*)，则

na2020的末尾两位数字是_________.

二、解答题（共3小题，共56分）

9. 过点P(0，1)作一直线l，l与抛物线y?x交于A，B两不同点，过点A，B分别作抛物线y?x的切线，两切线交于点Q.求点Q到直线AB的距离的最小值.

2210. 设

?为正实数，对任意两两不等的正实数a,b,c，都有

a3b3c3??≥?(a?b?c)，求?的最大值. 222(b?c)(c?a)(a?b)

11. 设m是给定的正整数，求证；对任意给定的正整数n(n≥2)，都存在集合

A?{a1,a2,L,an}?N*，使得对任意的正整数k(1≤k≤n)，都有ak|m?P(A)，其中akP(A)表示集合A中的元素之积.