第4讲 利用导数证明不等式（一）
[基础回顾]
1.常用不等式的生成
在不等式“改造”或证明的过程中，可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性、与
ex、lnx有关的常用不等式等方法进行适当的放缩，再进行证明．下面着重谈谈与ex、lnx有关的常用不等式的生成．
（1）生成一：利用曲线的切线进行放缩
设y?ex上任一点P的横坐标为m，则过该点的切线方程为y?em?em?x?m?，即
y?em?x?1??mem，ex?em?x?1??mem，由此可得与ex有关的不等式：其中x?R，m?R，
等号当且仅当x?m时成立．特别地，当m?0时，有ex?1?x；当m?1时，有ex?ex．
设y?lnx上任一点Q的横坐标为n，则过该点的切线方程为y?lnn?1?x?n?，即n11x?1?lnn，由此可得与lnx有关的不等式：lnx?x?1?lnn，其中x?0，n?0，nn1等号当且仅当x?n时成立．特别地，当n?1时，有lnx?x?1；当n?e时，有lnx?x．
ey?利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数． 生成二：利用曲线的相切曲线进行放缩
由图1可得lnx?2?x?1?x?11；由图2可得lnx??；由图3可得，lnx?（0?x?1），
x?1xexlnx?2?x?1?1?1?1?1?lnx??x??（0?x?1）lnx??x??（x?1）（x?1）；由图4可得，，．
2?x?2?x?x?1综合上述两种生成，我们可得到下列与ex、lnx有关的常用不等式： 与ex有关的常用不等式： （1）ex?1?x（x?R）； （2）ex?ex（x?R）．
与lnx有关的常用不等式：
x?1； ?lnx?x?1（x?0）
x11（2）??lnx?x（x?0）；
exe2?x?1?2?x?1?（3）lnx?（0?x?1），lnx?（x?1）；
x?1x?1（1）
1?1?1?1?（4）lnx??x??（0?x?1），lnx??x??（x?1）．
2?x?2?x?用x?1取代x的位置，相应的可得到与ln?x?1?有关的常用不等式．
2.对数平均值不等式链
?a?b,a?b?我们将两个正数a和b的对数平均值定义为：L?a,b???lna?lnb，对数平均值不等
??a,a?ba?ba2?b2?ab?L?a,b???式链为：． 1122?ab2211?baeea?b2对数平均值不等式链的指数形式为：?eea?ebea?ebe2a?e2b???，其中a?b22a?b．
[完美题型展现]
题型一 单变量不等式构造单函数求最值
例1(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a<0时，证明f(x)≤－3
－2. 4a
2ax2＋?2a＋1?x＋1?2ax＋1??x＋1?
解 (1)f′(x)＝＝.
xx当a≥0时，f′(x)≥0，则f(x)在(0，＋∞)单调递增．
11
0，－?单调递增，在?－，＋∞?单调递减． 若a<0，则f(x)在?2a???2a?3
(2)第一次构造辅助函数g(x)＝f(x)＋＋2.
4a
要证原不等式成立，需证g(x)max≤0，即证f(x)max＋
3
＋2≤0. 4a
111
－?.即证ln?－?＋＋1≤0 由(1)知，当a<0时，f(x)max＝f??2a??2a?2a
11
不妨设t＝－>0，则证ln t－t＋1≤0，令h(t)＝ln t－t＋1，求导得h′(t)＝－1.
2ath′(t)>0时，t∈(0,1)；h′(t)<0时，t∈(1，＋∞)．
3
所以h(t)在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减，则h(t)max＝h(1)＝0.故f(x)≤－－2.
4a
玩 转 秘 籍 1.证明f(x)>g(x)的一般方法是证明h(x)＝f(x)－g(x)>0(利用单调性)，转化为函数求最值。 2.对于含有参数的一个未知数的函数不等式，我们还可以通过放缩，消去参数，转化为研究一个特例函数的问题，从而使题目的难度大大降低。 [题型特训] 1.已知函数f?x??alnxb?，曲线y?f?x?在点?1,f?1??处的切线方程为x?2y?3?0． x?1xlnx． x?1（1）求a、b的值；
（2）证明：当x?0，且x?1时，f?x???x?1?a??lnx?x??b． 由于直线x?2y?3?0的斜率为?1，且过点【解析】（1）f??x???2x22?x?1??f?1??1?b?1??，即?1,1?，所以??a1，解得a?1，b?1． 1?b???f1??????2?22?【证明】（2）由（1）知f?x??lnx1lnxlnx1lnx ?，所以f?x?????x?1xx?1x?1xx?1?1?1??1?1?lnx?x??0hx?lnx?x?．构造函数???????2?x??2?x???2?2lnx12??0?Hx???1?x2x1?x2?x?1??011?1?（x?0），则h??x????1?2???，于是h?x?在?0,???上递减．
x2?x?2x2
当0?x?1时，h?x?递减，所以h?x??h?1??0，于是H?x??1h?x??0；当x?1时，1?x2h?x?递减，所以h?x??h?1??0，于是H?x??综上所述，当x?0，且x?1时，f?x??题型二 单变量不等式构造双函数求最值
1h?x??0． 21?xlnx． x?1例2 (2014·新课标全国Ⅰ)设函数
bex?1f(x)?aelnx?xx，曲线
y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方
程为
y?e(x?1)?2.
（I）求a,b; （II）证明：
f(x)?1.
x【解析】（1）因为f??1??e，f?1??2，而f??x??aelnx?ex?1?aex?bx?b?x2，所以
??f??1??ae?e，解得a?1，b?2． ?f1?b?2????2ex?1【证明】（2）法1：（寻找公切曲线隔离）由（1）知，f?x??elnx?，于是
x2ex?1xf?x??1?elnx??1．
xx由于f?x?混合了指数函数、对数函数和幂函数，比较复杂，所以可以考虑将指数函数、对
21?． exex212ex?2令g?x??lnx?，则g??x???2?， 2exxexex22由g??x??0可得x?，由g??x??0可得0?x?，
ee数函数进行分离，改造为lnx??2??2?所以g?x?在?0,?上递减，在?,???上递增．而
?e??e?h?x??1递减，所以两个函数的凸性相同（都是下 xe1，将两个函数进行隔离，ex凸函数）．此时，我们可以寻找与两个曲线都相切的曲线t?x??从而实现证明．
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