玩 转 秘 籍 对于两个未知数的函数不等式问题，其关键在于将两个未知数化归为一个未知数，常见的证明方法有以下4种： 方法1：利用换元法，化归为一个未知数 方法2：利用未知数之间的关系消元，化归为一个未知数 方法3：分离未知数后构造函数，利用函数的单调性证明 方法4：利用主元法，构造函数证明
[题型特训]
1．(2020·北京模拟)已知函数f?x??ln?1?x??x，g?x??xlnx． （1）求函数f?x?的最大值；
?a?b?（2）设0?a?b，证明：0?g?a??g?b??2g????b?a?ln2．
?2?【解析】（1）函数f?x?的定义域为??1,???．f??x??1由f??x??0可得?1?x?0，?1，
1?x由f??x??0可得x?0，于是f?x?在??1,0?上递增，在?0,???上递减，于是当x?0时，
f?x?有最大值，且最大值为f?0??0．
【证明】（2）以b为主元构造函数．
?a?x?设F?x??g(a)?g?x??2g??，其中x??a,???，则
2????a?x???a?x．因为x?a，所以F??x??0，因此F?x?在F??x??g??x??2?g????lnx?ln2??2???a,???上为增函数．而b?a，所以F?b??F?a??0，即g(a)?g?b??2g??a?b???0． 2??
设G?x??F?x???x?a?ln2，其中x??a,???，则
G??x??lnx?lna?x?ln2?lnx?ln?a?x?．当x?a时，G??x??0，因此G?x?在?a,???2?a?b?上为减函数，而b?a，所以G?b??G?a??0，即g?a??g?b??2g????b?a?ln2．
2???a?b?综上所述，0?g?a??g?b??2g????b?a?ln2．
?2?题型四 数列不等式证明
例4 已知函数f?x??x?1?alnx. （1)若f?x??0，求a的值
1?1??（2）设m为整数，且对于任意正整数，?1???1?2?2??2【解析】（1）f?x?的定义域为?0,???．
??L?1??1??m，求m的最小值. ?n?2??法1：（分离参数法）①当x?1时，有f?1??0，成立．
②当x?1时，x?1?alnx?0?a?x?1x?1，令h?x??，则h??x??lnxlnxlnx?1?ln2x1x，令
1x?1则k??x??2?0，所以k?x?在?1,???上递增，于是k?x??k?1??0，k?x??lnx?1?，xxx?11?lim?1，所以所以h??x??0，所以h?x?在?1,???上递增．由洛必达法则可得limx?1?lnxx?1?1xa?1．
x?1x?1，令h?x??，仿照②可得h?x?在?0,1?上lnxlnxx?11?lim?1，所以a?1． 递增．由洛必达法则可得limx?1?lnxx?1?1x③当0?x?1时，x?1?alnx?0?a?综上所述，a?1．
法2：（不猜想直接用最值法）f??x??1?ax?a． ?xx①当a?0时，f?x?在?0,???上递增，而f?1??0，于是f?x??0不成立．
②当a?0时，由f??x??0可得x?a，由f??x??0可得0?x?a，所以f?x?在?0,a?上递减，在?a,???上递增，而f?1??0，所以a?1．
11a?1?法3：（通过猜想减少分类讨论）由f?????aln2?0可得a?．f??x??1?，
22ln2x?2?由f??x??0可得x?a，由f??x??0可得0?x?a，所以f?x?在?0,a?上递减，在?a,???上递增，而f?1??0，所以a?1．
（2）当a?1时f?x??x?1?lnx?0，即lnx?x?1，则有ln?x?1??x，当且仅当x?0时
1?等号成立，所以ln?1?k?21?1??1?1???*?ln1??ln1??L?ln1?? ，，于是k?N?????k2?n??2?2??2??2?1?1??n?2???e．当n?3时，?1?1111?1???2?L?n?1?n?1，所以?1???1?2?L2222?2??2?1??1?359135?1??1?1?1??????2，于是m的最小值为3． ???2??3??2??2??2?24864玩 转 秘 籍 1?1?? 【点评】不等式?1???1?2?2??2??L?1??1??m左边是一个n项乘积的形式，处理?n??2?起来比较麻烦．考虑取对数，将不等式等价转化为1?1??1???ln?1???ln?1?2??L?ln?1?n??lnm，则容易联想到与lnx有关的常用不等式?2??2??2?ln?1?x??x．
[题型特训]
1． 设函数f?x??ln?1?x?，g?x??xf??x?，x?0，其中f??x?是f?x?的导函数． （1）若f?x??ag?x?恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设n?N*，比较g?1??g?2??L?g?n?与n?f?n?的大小，并加以证明． 【解析】（1）f??x??1x，所以g?x??． 1?x1?x
法1：（分离参数法）当x?0时，f?x??ag?x?恒成立． 当x?0时，f?x??ag?x?在?0,???上恒成立?a?f?x?g?x???1?x?ln?1?x??Fx?x?在
?0,???上恒成立．F??x??x?ln?1?x?x2，令G?x??x?ln?1?x?，则G??x??x?0，所1?x以G?x?在?0,???上递增，于是G?x??G?0??0，即F??x??0，所以F?x?在?0,???上递增．
由洛必达法则，可得lim?x?0?1?x?ln?1?x??lim1?ln?1?x??1，所以
xx?0?1a?1，于是实数a的取
值范围为???,1?．
法2：（不猜想直接用最值法）令h?x??f?x??ag?x??ln?1?x??ax，则1?xh??x??a?1?x??axx?a?11，令h??x??0，得x?a?1． ??221?x?1?x??1?x?①当a?1?0，即a?1时，h??x??0在?0,???上恒成立，所以h?x?在?0,???上递增，所以h?x??h?0??0，所以当a?1时，h?x??0在?0,???上恒成立．
②当a?1?0，即a?1时，h?x?在?0,a?1?上递减，在?a?1,???上递增，所以当x?a?1时h?x?取到最小值，于是h?x??h?a?1??lna?a?1．设??a??lna?a?1，a?1，则
???a??1?1?0，所以函数??a?在?1,???上递减，所以??a????1??0，即h?a?1??0，a所以h?x??0不恒成立．
综上所述，实数a的取值范围为???,1?． （2）g?1??g?2??L?g?n??12n，n?f?n??n?ln?n?1?，比较结果为：??L?23n?1g?1??g?2??L?g?n??n?f?n?．证明如下．
上述不等式等价于ln?n?1??111i?11．为证明该式子，我们首先证明ln． ??L??23n?1ii?1
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