x1i?11，令x?，可得ln．令i?1,2,L,n?1?xiii?12131n?11111可得ln?，ln?，…，ln，相加可得ln?n?1????L?，命题?1223nn?123n?1法1：在（1）中取a?1，可得ln?1?x??获证．
法2：令t?，则ln则F??t??1ii?11tt，构造函数F?t??ln?1?t??，??ln?1?t??0?t?1，
ii?11?t1?t11t???0，于是F?t?在?0,1?上递增，所以F?t??F?0??0，于1?t?1?t?2?1?t?2是lni?11． ?ii?1下同法1．
[特训作业]
1.已知函数f?x??alnxb ?，曲线y?f?x?在点?1,f?1??处的切线方程为x?2y?3?0．
x?1xlnx． x?1（1）求a、b的值；
（2）证明：当x?0，且x?1时，f?x???x?1?a??lnx?x??b． 由于直线x?2y?3?0的斜率为?1，且过点【解析】（1）f??x???2x22?x?1??f?1??1?b?1???1,1?，所以?1，解得a?1，b?1． 1，即?a?b???f??1????2?22?【证明】（2）由（1）知f?x??lnx1lnxlnx1lnx ?，所以f?x?????x?1xx?1x?1xx?1?1?1??1?1?lnx?x??0hx?lnx?x?．构造函数???????2?x??2?x???2?2lnx12??0?Hx???1?x2x1?x2?x?1??011?1?（x?0），则h??x????1?2???，于是h?x?在?0,???上递减．
x2?x?2x2当0?x?1时，h?x?递减，所以h?x??h?1??0，于是H?x??1h?x??0；当x?1时，1?x2h?x?递减，所以h?x??h?1??0，于是H?x??综上所述，当x?0，且x?1时，f?x??1h?x??0． 1?x2lnx． x?1
b（a、b?R）． ex1b（1）若a?b?，求函数F?x??f?x??axlnx?x的单调区间；
2e1（2）若a?1，b??1，求证：f?x??ax2?bx?lnx?1?2e?2．
2?x?2??x?1?． 111111【解析】（1）当a?b?，F?x??lnx?x2?x，F??x???x???x222x2422.已知函数f?x???ax?1?lnx?ax2?bx?由F??x??0可得0?x?1，由F??x??0可得x?1，所以F?x?的递增区间为?0,1?，递减区间为?1,???．
【证明】（2）若a?1，b??1，f?x??ax2?bx?lnx?1?2e?2?xlnx?12112．令??1?2exe211ex?x11．设h?x??ex?x，则G?x??xlnx?x，则G??x??lnx?1?x，G???x???x?xxexeeeh??x??ex?1?0，所以h?x?在?0,???上递增，所以h?x??h?0??1，所以G???x??0，所
1??11??e2??e以G??x?在?0,???上递增．又因为G????e?0，G??2??e?1?0，所以G??x?恰
?e??e?11?11?有一个零点x0??2,?，即G??x0??lnx0?1?x?0，且当0?x?x0时，G??x??0，当
e0?ee?x?x0时，G??x??0，所以G?x?在?0,x0?上递减，在?x0,???上递增，所以
G?x??G?x0??x0lnx0?1?x0lnx0?lnx0?1． ex01?11?设??x??xlnx?lnx?1，x??2,?，则???x??1?lnx??1?1?e?0，所以??x?在
x?ee?112?11??1?1,?x???ln?ln?1???1．命题获证． 上递增，所以??0?2??2?2e2e2e2?ee??e?e3.已知函数f?x??ex?exlnx．
（1）求曲线y?f?x?在?1,f?1??处的切线方程； （2）求证：f?x??ex2．
【解析】（1）f??x??ex?e?1?lnx?，所以f??1??2e，又f?1??e，所以y?f?x?在?1,f?1??处的切线方程为y?e?2e?x?1?，即y?2ex?e．
【证明】（2）法1：f?x??ex2?ex?exlnx?ex2?ex?1?xlnx?x2?0，构造函数
g?x??ex?1?xlnx?x2，则g??x??ex?1?1?lnx?2x，g???x??ex?1?1?2，xg????x??ex?1?1g????x??0，．因为g????x?在?0,???上递增，且g????1??0，所以当0?x?1时，
x2g????x??0，当x?1时，所以g???x?在?0,1?上递减，在?1,???上递增，所以g???x??g???1??0，
于是g??x?在?0,???上递增，又因为g??1??0，所以当0?x?1时，g??x??0，g?x?递减，当x?1时，g??x??0，g?x?递增，所以g?x??g?1??0，命题获证．
ex?1ex?1法2：f?x??ex?e?exlnx?ex?构造函数G?x???lnx?x?0，?lnx?x，
xx2x2则G??x??ex?1?x?1?x2e1??1?xx?1?x?1??x?x2??x?1??ex?1?x?x2x2．令H?x??ex?1?x，则
H??x??ex?1?1，由H??x??0可得x?1，由H??x??0可得0?x?1，于是H?x?在?0,1?上
递减，在?1,???上递增，于是H?x??H?1??0．于是当0?x?1时，G??x??0，当x?1时，
G??x??0，所以G?x?在?0,1?上递减，在?1,???上递增，于是G?x??G?1??0，命题获证．
4.已知函数f?x???x?a?lnx?1． x（其中a?R）
21x，求a的值； 2（1）若曲线y?f?x?在点?x0,f?x0??处的切线方程为y?（2）若
1，求证：f?x??0． ?a?2e（e是自然对数的底数）
2e?1y?x0?02??x0?11a3?【解析】（1）f??x??lnx??，依题意，有?y0??x0?a?lnx0?x0，解得?或
a?12x2??a31?lnx??0x?2?20??x0?a，所以a?1． ?a?1?
（2）法1：令g?x??f??x?，则g??x??1a1因为所以g??x??0，即g?x??2，?a?2e，xx2eaa3a12e1?a?在?0,???上递增．因为g???ln???ln??ln??0，
a2222222??2g?a??lna?a3111?a???lna??ln??0，所以g?x?在?,a?上有唯一零点x0．当a222e2?2?0?x?x0时，g?x??0，当x?x0时，g?x??0，所以f?x?在?0,x0?上递减，在?x0,???上
递增，所以当x?x0时，f?x?取到最小值f?x0???x0?a?lnx0?1x0．因为2g?x0??lnx0??a3?1a3a3??0，所以lnx0??，所以f?x0???x0?a?????x0? x02x02?x02?2a2511a?2?x0??a??2x0?5ax0?2a2????2x0?a??x0?2a?，因为x0????,a?，所以
x022x02x0?2?1?a?2e时，f?x??0． 2ea法2：当x?a时，f?a???0．
2f?x0??0，所以当
当x?a时，f?x???x?a?lnx???1xx?0??x?a??lnx???0．令22x?a??????x1a2x2?5ax?2a2?2x?a??x?2a?F?x??lnx?，则F??x???，由??2222?x?a?x2?x?a?2x?x?a?2x?x?a?F??x??0可得0?x?aa或x?2a，由F??x??0可得?x?a或a?x?2a，所以F?x?在22?a??a?0,上递增，在???,a?上递减，在?a,2a?上递减，在?2a,???上递增． 2???2?aaa12e1?a?2?ln??ln??0，因为F???ln?22222?a??2?2??a??2?F?2a??ln2a?2a111?ln2a??ln??0，所以当0?x?a时，F?x??0，所以
2?2a?a?22e2f?x???x?a?F?x??0，当x?a时，F?x??0，所以f?x???x?a?F?x??0．
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