三角形 6．（上海模拟）如图，三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．将纸片折叠，使点B落在AC边上的点D处，折痕与BC、AB分别交于点E、F．
（1）设BE＝x，DC＝y，求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围； （2）当△ADF是直角三角形时，求BE的长； （3）当△ADF是等腰三角形时，求BE的长
（4）过C、D、E三点的圆能否与AB边相切？若能，求BE的长；若不能，说明理由．
A
B C
解：（1）∵BE＝x，∴DE＝x，EC＝3－x 在Rt△DEC中，DC22 ＋EC ＝DE2
即y222
＋(3－x
)＝x
，∴y＝
6x－9
当D与C重合时，x最小 即y＝3
6x－9＝0，x＝
2
当E与C重合时，x最大，x＝3 ∴3
≤ 2
x≤3
（2）①当∠ADF＝90°时，则FD∥BC ∴∠AFD＝∠B，又∵∠EDF＝∠B ∴∠AFD＝∠EDF，∴DE∥AB ∴△DEC∽△ABC，∴
DE
EC
AB
＝
BC
∴
x
3－x
5
＝
3
，解得x＝15
8
，即BE的长为15
8
②当∠AFD＝90°时，则∠BFE＝∠DFE＝45° 作EG⊥BF于G，则Rt△BEG∽Rt△BAC ∴
BG
EG
BE
BC
＝
AC
＝
AB
∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5 ∴
BG
＝
EG
x
3
4
＝
5
，∴BG＝3
5
x，EG＝4
5
x
A
F D
B E C A
F D
B E C
A
F G D
B
E
C
∴FG＝EG＝
45
x，DF＝BF＝3
5
x＋47
5
x＝
5
x
由Rt△ADF∽Rt△ABC，得
AD
AB＝DF
BC
7
∴ 4－ 6x－9
＝ 5x
5 3
，即7x＋36x－9－12＝0
2
令6x－9＝u，则x＝u
＋9
6
2
∴7(u ＋9
6
)＋3u－12＝0，∴7u2
＋18u－9＝0
解得u－3＜0（舍去），u
3
1＝2＝
7
(
3
)2
＋∴x＝
79
＝
75
，即BE
75
6 49
的长为 49
综上，当△ADF是直角三角形时，BE的长为
15
75
8 或
49
（3）①当AF＝DF时，则∠A＝∠FDA ∵∠FDE＝∠B，∠A＋∠B＝90° ∴∠FDA＋∠FDE＝90°，即∠ADE＝90° ∴ED⊥AC，∴D与C重合 ∴x＝
1
2
BC＝3
2
，即BE的长为3
2
②当AD＝DF时，则BF＝DF＝AD＝4－
6x－9 ∴AF＝5－(4－
6x－9
)＝1＋
6x－9
作DG⊥AF于G，则Rt△ADG∽Rt△ABC AG＝
1
2
AF＝1
2
(1＋
6x－9
)
∴
AD
AB
4－
6x－9 5
AG ＝ AC ，∴1 ＝
2
(1＋ 6x－9 )4
得6x－9＝
27
13
，解得x＝375375
169，即BE的长为 169
③当AD＝AF时，则AF＝AD＝4－
6x－9
∴DF＝BF＝5－(4－
6x－9
)＝1＋
6x－9
作FH⊥AD于H，则Rt△AFH∽Rt△ABC ∴
AH
＝
FH
AF
AH
FH
4－
6x－9
AC BC ＝ AB ，∴4 ＝ 3 ＝
5
∴AH＝
16－4
6x－9 12－3 6
5 ，FH＝x－9
5
A
F B
E
C (D)A
G D
F B
E
C
A
F H D
B E C
∴HC＝4－∴DH＝
16－46x－94＋46x－9
＝
55
4＋46x－94－6x－9－6x－9＝ 55
在Rt△DFH中，DH ＋FH ＝DF ∴(
222
4－6x－9212－36x－922)＋()＝(1＋6x－9) 55
令6x－9＝t，代入上式并化简得15t＋130t－135＝0
2
解得t＝
510－13
（舍去负值） 3
∴6x－9＝
510－13250－6510250－6510
，解得x＝，即BE的长为 32727
综上，当△ADF是等腰三角形时，BE的长为
3375250－6510
或或 216927
（4）假设过C、D、E三点的圆能与AB边相切 ∵△DEC是直角三角形，∴DE是圆的直径 ∴∠DFE＝90°，∴∠BFE＝90° ∴D点在AB上，不可能
∴过C、D、E三点的圆不能与AB边相切（⊙O与AB边相离）
7．（上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，AD⊥BC于D，点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且∠EDF＝90°，连接EF． （1）求
DE
的值； DF
（2）设AE的长为x，△DEF的面积为S，求S关于x的函数关系式；
（3）设直线DF与直线AB相交于点G，△EFG能否成为等腰三角形？若能，求AE的长；若不能，请说明理由．
A A A
E F
B C B C B D D D
备用图 备用图
解：（1）∵∠BAC＝90°，∴∠1＋∠2＝90° ∵AD⊥BC，∴∠C＋∠2＝90° ∴∠1＝∠C ∵∠EDF＝90°，∴∠3＋∠5＝90°
A ∵AD⊥BC，∴∠4＋∠5＝90°
1 2 ∴∠3＝∠4
E F ∴△ADE∽△CDF
DEADAB63
∴＝＝tan∠C＝＝＝ DFCDAC84
C
3 5 B 4 D
C
（2）∵△ADE∽△CDF，∴
AEDE3＝＝ CFDF4
444
∴CF＝AE＝x，∴AF＝8－x
333
422526422
∴EF ＝x＋(8－x)＝x－x＋64
393
∵
DEAB
＝，∠EDF＝∠BAC＝90° DFAC
∴△DEF∽△ABC EF
∴＝2 S△ABCBC
S
2
1222
∵S△ABC＝×6×8＝24，BC ＝6＋8＝100
2
∴S＝
242526422128384(x－x＋64)＝x－x＋ 1009332525
22128384即S＝x－x＋（0≤x≤6）
32525
（3）假设△EFG能成为等腰三角形
当点G在AB延长线上时，由于∠GEF≥90°，所以只能EF＝EG ∴∠G＝∠6
∵△DEF∽△ABC，∴∠6＝∠C ∵∠1＝∠C，∴∠G＝∠1
∴DA＝DG＝DF，∴EF＝AB，∴EF ＝AB
A E 1 6 22
F
C
2526442∴x－x＋64＝36，解得x＝6（舍去）或x＝ 9325
B G
D
此时AE的长为
42
25
当点G在BA延长线上时，由于∠EFG≥90°，所以只能FE＝FG ∴∠G＝∠AEF
DEDE1
而tan∠G＝＝＝＝
DGDF＋FG43
EF＋EF5
3EF5
G A F E B
AF
tan∠AEF＝＝
AE
8－
4x324－4x
＝ x3x
∴
24－4x124
＝，解得x＝ 3x35
D
C
此时AE的长为
24
5
综上所述，△EFG能成为等腰三角形，此时AE的长为
4224或 255
8．（上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝5，D是BC边上一点，
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