2011-2013年深圳市初中毕业生学业考试数学分析

例题：如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G. （1）求证：AG=C′G；

（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于M，求EM的长.

【分析】（1）要证AG=C′G，只要证明它们是全等三角形的对应边即可。由已知的矩形和轴对称性易证△ABG≌△C’DG。

（2）考虑Rt△DME和Rt△DC′G。△DC’G中DC′=6,已知，DG=AD=8－AG，

而由（1）AG=C′G，从而应用勾股定理可求得C′G。而△DME中DM=DM=DC′G得到对应边的比相等可求EM的长。

【答案】解：（1）证明：由对折和图形的对称性可知， CD＝C′D， ∠C＝∠C′＝90°。

1AD=4，从而由Rt△DME∽Rt△2在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°， ∴AB＝C′D，∠A＝∠C′。 在△ABG和△C’DG中，∵AB＝C′D，∠A＝∠C′，∠AGB＝∠C′GD ， ∴△ABG≌△C′DG（AAS）。 ∴AG＝C′G。

（2）如图2，设EM＝x，AG＝y，则有： C′G＝y，DG＝8－y， DM=

1AD=4 。 2 在Rt△C’DG中，∠DC′G＝90°，C′D＝CD＝6， ∴C?G2?C?D2?DG2。

即：

y2?62?(8?y)2。 解得： y?7725。∴C′G＝，DG＝。 444 又∵△DME∽△DC′G，∴

4xDMME7， 即：?， 解得：x?。 ?67DC?C?G64 即：EM＝

7。 6 ∴所求的EM长为

7cm。 6练习：如图4，在等腰梯形ABCD中，已知AD//BC，AB=DC，AC与BD交于点O，廷长BC到E，使得CE=AD，连接DE。

（1）求证：BD=DE。

（2）若AC⊥BD，AD=3，SABCD=16，求AB的长。

考点十八 三角形

例题：如图，已知△ABC，∠ACB=90o，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45o， （1）求证：△ACF∽△BEC （8分）

（2）设△ABC的面积为S，求证：AF·BE=2S （4分）

（3）试判断以线段AE、EF、FB为边的三角形的形状并给出证明． 【考点】相似三角形的判定和性质，三角形三边关系，勾股定理的逆定理。 【分析】（1）对应角相等，两三角形相似。

（2）根据相似三角形的性质证明AF?BE=AC?BC=2S；

（3）由（2）的结论，求出AE、EF、FB的数量关系，应用勾股定理的逆定理即可证明。本题还有以下证明方法：

方法1：将△ACE绕O顺时针旋转90°到△CBG，边角边证明三角形全等，得出FG=EF，再证明△FBG为直角三角形，得出三边构成三角形的形状。

方法2：将△ACE和△BCF分别以CE、CF所在直线为轴折叠，则AC、BC的对应边正好重合与一条线段CG，连接GE、GF，则△FEG是直角三角形。

【答案】解：（1）证明：∵AC=BC，∠ECF=45°∠ACB=90°，

∴∠A=∠B=45°，∠AFC=45°+∠BCF，∠ECB=45°+∠BCF。 ∴∠AFC=∠ECB。∴△ACF∽△BEC。 （2）∵△ACF∽△BEC，∴

A E F C B ACAF，即AF?BE=AC?BC。 ?BEBC又∵ S△ABC=

1AC?BC，∴AF?BE=2S。 2（3）直角三角形。证明如下：

由（2）可知AF?BE=AC?BC= AC=

2

12

AB。 2设AE=a，BF=b，EF=c．

则 (a+c)(b+c)=

12222

(a+b+c)，化简即得a+b=c。 2所以以线段AE、EF、FB为边的三角形是以线段EF为斜边的直角三角形。

练习：如图5所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径。

考点十九 二次函数

例题：如图，已知A（5，-4），⊙A与x 轴分别相交于点B、C，⊙A与y轴相且于点D，

（1）求过D、B、C三点的抛物线的解析式； （2）连结BD，求tan∠BDC的值；

（3）点P是抛物线顶点，线段DE是直径，直线PC与直线DE相交于点F，∠PFD的平分线FG交DC

于G，求sin∠CGF的值。

解析：考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。

分析：（1）已知了A点坐标，即可得出圆的半径和OD的长，连接AB，过A作BC的垂线不难求出B、C的坐标．然后可用待定系数法求出抛物线的解析式．

（2）可取弧BC的中点H，连接AH、AB，那么根据垂径定理和圆周角定理不难得出∠BDC=

1∠BAC= 2∠BAH，由此可求出∠BDC的正切值．（也可通过求弦切角∠PCO的正切值来得出∠BDC的正切值）

（3）由于∠CGF=∠CDF+∠GFD=∠CDF+

11∠CFD，而∠PCO=∠PFD=∠BDC，那么∠CGF=∠CDF+∠BDC= 22∠HDF，在直角三角形AOH中，DA=AH，因此∠HDF=45°，即∠CGF=45°，据此可求出其正弦值． 解答：解：（1）D（0，﹣4），B（2，0），C（8，0）；

∴抛物线的解析式为