初等方法建模 4交通事故调查--数学建模案例分析

数学建模案例分析

§4 交通事故调查

一辆汽车在拐弯时急刹车，结果冲进路边的沟里。警察闻讯赶到现场，对汽车留在路上的刹车痕迹进行细致的测量，利用所测到的数据画出了事故现场的平面图。

汽车的最终位置

外侧 y x 刹车痕迹

询问司机时，他声称当时车进入弯道后刹车失灵，还说进入弯道时的车速不到30英里/小时（该路速度上限）。通过验车证实该车的制动器在事故发生时确实失灵。警察按通常做法，作一条基准线来测量刹车痕迹，距离x沿基准线测得，距离y与x垂直。 下表给出外侧刹车痕迹的有关值（单位：米）

x y 0 0 3 1.19 6 9 12 15 16.64 3.55 18 21 24 27 30 33.27 0 2.15 2.82 3.28 3.53 3.54 3.31 2.89 2.22 14.29 警察还测了路的坡度，发现是平的。接着以同型号的车在初速度为30英里/小(13.4112米/秒）下进行两次刹车测试。结果如下： 第一次测试 位移s?11.0米 第二次测试 位移s?10.85米

现在的问题是，造成事故的直接原因究竟是刹车失灵还是违章超速行驶。

模型假设 1、从平面图可见汽车没有偏离它行驶的转弯曲线，车头一直指着切线方向。由此可设

汽车的重心沿一个半径为r的圆运动；

2、从平面图可见汽车车轮转着打滑,车滑向路边。由此可认为摩擦力作用在汽车速度

的法线方向上，在这种情形下，摩擦力提供向心力。摩擦系数为?。 3、汽车出事时的速度v是常量，即初速度v0。 模型建立 1、计算出圆周半径r的近似值。

由测得的数据进行拟合一个圆。可以隔三点选一个，代入

(x?a)?(y?b)?r （1） 得到一组r的值，然后取平均值。

也可由弓形中的计算公式（m为弓形的高，c为弦的长度）

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222数学建模案例分析

r?(r?m)?() （2） 得到r的近似值。

2、计算地面的刹车系数a（减速度a） 由 v2?v0?2as及v?0，得

222c22v0?v2v0 （3） a??2s2s3、导出计算初速度v0的公式

22v2由假设2，mg??m0，即 v0?rg?，又由牛顿第二定律

r2ma??mg

有 a??g 从而

v0?ra （4） 模型求解 1、通过表中数据拟合，得到r的以下各值 40.99, 40.47, 40.54

取平均值就得到r?40.67米

或将c?33.27,2m?3.55代入（2），得到r?40.75米。

2、取位移s?11.0（用它计算得到a对肇事车辆有利），v0?13.41，代入（3）， 得a?8.1754米/秒。

3、取r?40.67,a?8.1754代入（4），得

2英里/小时 v0?40.67?8.1754?18.2340米/秒＝40.7732模型分析 由计算得出超速的结论，由于模型假设3，以及确定车辆刹车位移s，模拟圆周半径

r时都会带来微小误差，使得计算结果可能产生一定的误差。即使允许对司机有利的误差10%，车速仍在35英里/小时左右，因此可以断定造成事故的直接原因是超速行驶。

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