2014-2019年高考数学真题分类汇编
专题3：导数（积分）
选择题
1．（2014?湖北理）若函数f(x)，g(x)满足?f(x)g(x)dx?0，则f(x)，g(x)为区间[?1，1]上的一组正
?11交函数，给出三组函数： 11①f(x)?sinx，g(x)?cosx；
22②f(x)?x?1，g(x)?x?1； ③f(x)?x，g(x)?x2，
其中为区间[?1，1]上的正交函数的组数是( ) A．0
B．1
C．2
D．3
【考点】定积分、微积分基本定理
【分析】利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论．
【解答】解：对于①：(Tex translation failed)，?f(x)，g(x)为区间[?1，1]上的一组正交函数；
111对于②：?(x?1)(x?1)dx??(x2?1)dx?(x3?x)|1，?f(x)，g(x)不是区间[?1，1]上的一组正交函?1?0?1?13数；
11对于③：?x3dx?(x4)|1，?f(x)，g(x)为区间[?1，1]上的一组正交函数， ?1?0?14?正交函数有2组，
故选：C．
【点评】本题考查新定义，考查微积分基本定理的运用，属于基础题．
2．（2014?山东理）直线y?4x与曲线y?x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A．22 B．42 C．2
D．4
【考点】定积分、微积分基本定理
【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可． 【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，
2曲线y?x3与直线y?4x在第一象限所围成的图形的面积是?0(4x?x3)dx，
122而?0(4x?x3)dx?(2x2?x4)|0?8?4?4，
4?曲边梯形的面积是4，
故选：D．
【点评】考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．
3．（2014?江西理）若f(x)?x2?2?f(x)dx，则?f(x)dx?( )
0011A．?1
1B．?
31C．
3D．1
【考点】定积分、微积分基本定理
【分析】把定积分项看成常数对两侧积分，化简求解即可．
11111【解答】解：令?f(x)dx?t，对f(x)?x2?2?f(x)dx，两边积分可得：t??2?tdx??2t，
0003311解得t??f(x)dx??，
03故选：B．
【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的应用，是基础题． 4．（2014?陕西理）定积分?(2x?ex)dx的值为( )
01A．e?2 B．e?1 C．e D．e?1
【考点】定积分、微积分基本定理 【分析】根据微积分基本定理计算即可．
0【解答】解：?(2x?ex)dx?(x2?ex)|10?(1?e)?(0?e)?e．
01故选：C．
【点评】本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数．
填空题
1．（2014?福建理）如图，在边长为e(e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为
2 ． 2e
【考点】几何概型
【分析】利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率． 【解答】解：由题意，y?lnx与y?ex关于y?x对称，
?阴影部分的面积为2?(e?ex)dx?2(ex?ex)|10?2，
0e?2) （或2?lnxdx?2?(lnx?1?1)dx?2(xlnx?x)|111ee1边长为e(e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，
?落到阴影部分的概率为
2． 2e故答案为：
2． e2【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到． 2．（2015?湖南理）?(x?1)dx? 0 ．
02【考点】定积分、微积分基本定理
【分析】求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值．
212【解答】解：?(x?1)dx?(x2?x)|0?0；
02故答案为：0．
【点评】本题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数． 3．（2015?天津理）曲线y?x2与y?x所围成的封闭图形的面积为 【考点】定积分的应用
【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．
【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0
1 ． 6直线y?x与曲线y?x2所围图形的面积S??(x?x2)dx
0111111而?(x?x2)dx?(x2?x3)|1??? 00232361?曲边梯形的面积是
1． 6故答案为：
1． 6
【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数．
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