理解傅里叶分析 - 图文

同时，我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面，也称复平面。这样我们就了解到，乘虚数i的一个功能——旋转。

现在，就有请宇宙第一耍帅公式欧拉公式隆重登场——

这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析，但是乘它为宇宙第一耍帅公式是因为它的特殊形式——当x等于 Pi 的时候。

经常有理工科的学生为了跟妹子表现自己的学术功底，用这个公式来给妹子解释数学之美：”石榴姐你看，这个公式里既有自然底数e，自然数 1 和0，虚数i还有圆周率 pi，它是这么简洁，这么美丽啊！“但是姑娘们心里往往只有一句话：”臭屌丝……“

这个公式关键的作用，是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义：

欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。

关于复数更深的理解，大家可以参考：

复数的物理意义是什么？

这里不需要讲的太复杂，足够让大家理解后面的内容就可以了。

六、指数形式的傅里叶变换

有了欧拉公式的帮助，我们便知道：正弦波的叠加，也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。而螺旋线的叠加如果用一个形象的栗子来理解是什么呢？

光波

高中时我们就学过，自然光是由不同颜色的光叠加而成的，而最著名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验：

所以其实我们在很早就接触到了光的频谱，只是并没有了解频谱更重要的意义。

但不同的是，傅里叶变换出来的频谱不仅仅是可见光这样频率范围有限的叠加，而是频率从 0 到无穷所有频率的组合。

这里，我们可以用两种方法来理解正弦波：

第一种前面已经讲过了，就是螺旋线在实轴的投影。

另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解：

将以上两式相加再除2，得到：

这个式子可以怎么理解呢？

我们刚才讲过，e^(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线，那么e^(-it)则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而 cos (t)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半，因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了！

举个例子的话，就是极化方向不同的两束光波，磁场抵消，电场加倍。

这里，逆时针旋转的我们称为正频率，而顺时针旋转的我们称为负频率（注意不是复频率）。 好了，刚才我们已经看到了大海——连续的傅里叶变换频谱，现在想一想，连续的螺旋线会是什么样子： 想象一下再往下翻：

是不是很漂亮？