－2，4＋2)．
2．(2018·桂平市一模)如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(2,0)，直线y＝x＋1与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上．
(1)求二次函数的解析式；
(2)证明：点(－m,2m－1)不在(1)中所求的二次函数的图象上；
(3)若C为线段AB的中点，过C点作CE⊥x轴于E点，CE与二次函数的图象交于D点，二次函数的图象上是否存在点P，使得S△POE＝2S△ABD？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
第2题图
(1)解：∵当x＝0时，y＝x＋1＝1，∴A(0,1)． 设二次函数的解析式为y＝a(x－2)， 1
把A(0,1)代入得4a＝1，解得a＝，
412
∴二次函数的解析式为y＝(x－2)，
412
即y＝x－x＋1.
4
1212
(2)证明：把点(－m,2m－1)代入y＝x－x＋1，得m＋m＋1＝2m－1，
44整理得m－4m＋8＝0. ∵Δ＝(－4)－4×8＜0，
12
∴方程m＋m＋1＝2m－1没有实数解，
4
∴点(－m,2m－1)不在(1)中所求的二次函数的图象上． (3)解：存在．
2
2
2
y＝x＋1，??
解方程组?12
y＝x－x＋1，??4
则B(8,9)．
??x＝0，
得?
?y＝1，?
??x＝8，
或?
?y＝9，?
∵C为线段AB的中点， ∴C(4,5)． ∵CE⊥x轴， ∴E(4,0)．
12
当x＝4时，y＝x－x＋1＝1，则D(4,1)，
41
∴S△ABD＝×4×(9－1)＝16.
2∴S△POE＝2S△ABD＝32. 12
设P(x，x－x＋1)，
4112
∴×4×(x－x＋1)＝32， 24解得x＝10或－6，
1
∴当x＝－6时，y＝×36＋6＋1＝16；
41
当x＝10时，y＝×100－10＋1＝16.
4∴点P的坐标为(－6,16)或(10,16)．
第3题图
222
3．(2018·新疆)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x－x－4与x轴交于A，B两点(点A33在点B左侧)，与y轴交于点C.
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；
(3)在(2)的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是
△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
222
(1)解：∵当x＝0时，y＝x－x－4＝－4，
33∴点C的坐标为(0，－4)． 222
∵当y＝0时，x－x－4＝0，
33解得x1＝－2，x2＝3，
∴点A的坐标为(－2,0)，点B的坐标为(3,0)． (2)设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 将B(3,0)，C(0，－4)分别代入y＝kx＋b，
?3k＋b＝0，?
得???b＝4，
4??k＝，解得?3
??b＝－4，
4
∴直线BC的解析式为y＝x－4.
3
过点Q作QE∥y轴，交x轴于点E，如答图1所示．
34
当运动时间为t秒时，点P的坐标为(2t－2,0)，点Q的坐标为(3－t，－t)，
554
∴PB＝3－(2t－2)＝5－2t，QE＝t，
51424525
∴S△PBQ＝PB·QE＝－t＋2t＝－(t－)＋.
255444
∵－＜0，
5
45
∴当t＝秒时，△PBQ的面积最大，最大值为.
54
(3)解：存在．如答图2所示，过点M作MF∥y轴，交BC于点F. 2224
设点M的坐标为(m，m－m－4)，则点F的坐标为(m，m－4)，
333422222
∴MF＝m－4－(m－m－4)＝－m＋2m，
3333
12
∴S△BMC＝MF·OB＝－m＋3m.
2
∵△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍， 522
∴－m＋3m＝×1.6，即m－3m＋2＝0，
4解得m1＝1，m2＝2. ∵0＜m＜3，
∴在BC下方的抛物线上存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，此时点M的坐标为(1，8
－4)或(2，－)．
3
第3题答图
类型6 探究三角形相似的存在性
32
1．(2018·南宁三模)抛物线y＝ax＋bx＋3(a≠0)经过点A(－1,0)，B(，0)，且与y轴相交于点
2
C.
(1)求这条抛物线的表达式； (2)求∠ACB的度数；
(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．
第1题图
解：(1)当x＝0时，y＝3，∴C(0,3)． 3
设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－)．
2
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