2019年全国初中数学竞赛（广东赛区）初赛试卷
一、选择题（每小题6分，满分30分） 1．已知A．1
1．【解答】解：∵
＝0，a2+b2+c2＝1，则a+b+c的值等于（ ）
B．﹣1 ＝
C．1或﹣1 ＝0，∴bc+ac+ab＝0，
D．O
又∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（bc+ac+ab）＝1+0＝1；∴a+b+c＝±1．故选：C． 2．若使函数A．b＞c＞0
2．【解答】解：∵函数
的自变量x的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定满足要求的是（ ） B．b＞0＞c
C．c＞0＞b
D．c＞b＞0
的自变量x取值范围是一切实数，∴分母一定不等于0，
∴x2﹣2bx+c2＝0无解，即△＝4b2﹣4c2＝4（b+c）（b﹣c）＜0，解得：c＜b＜﹣c或﹣c＜b＜c． 当c＞b＞0时，一定满足要求上面要求．故选：D．
3．如图，E、F、G、H、I、J、K、N分别是正方形各边的三等分点，要使中间阴影部分的面积是5，那么大正方形的边长应该是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．【解答】解：∵△BMI∽△ABI，∴MI＝BM，∴AI＝3MB+MB＝又∵在直角△ABI中，AB：AI＝3：∵MB与小正方形的边长相等，∴AB＝
，∴AB＝×
＝
×＝5
MB，
MB，
．故选：C．
4．如图，△ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接DE．记△ADE的周长为L1，四边形BDEC的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（ ）
A．Ll＝L2 B．L1＞L2 C．L2＞L1 D．无法确定
4．【解答】解：∵等边三角形各内角为60°，∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠BPD＝∠CPE＝30°，∴在Rt△BDP和Rt△CEP中，∴BP＝2BD，CP＝2CE，∴BD+CE＝BC， ∴AD+AE＝AB+AC﹣BC＝BC，∴BD+CE+BC＝BC，L1＝BC+DE，L2＝BC+DE， 即得L1＝L2，故选：A．
5．一个盒子里有200只球，从101到300连续编号，甲、乙两人分别从盒子里拿球，直到他们各有100只球为止，其中甲拿到102号，乙拿到280号，则甲拿到的球的编号总和与乙拿到的球的编号总和之差最大是（ ） A．10000
B．9822
C．377
D．9644
﹣（280﹣102）＝24872；
5．解：甲拿201至300，然后用280换102 则标号之和是：（201+300）×乙的编号之和是：（101+200）×6．已知a2+4a+1＝0，且
+（280﹣102）＝15228 24872﹣15228＝9644．故选：D．
，则m＝ ．
6．【解答】解：∵a2+4a+1＝0，∴a2＝﹣4a﹣1，
＝
＝
＝
＝＝5，∴（16+m）（﹣4a﹣1）+8a+2＝5（m﹣12）（﹣4a﹣1），
原式可化为（16+m）（﹣4a﹣1）﹣5（m﹣12）（﹣4a﹣1）＝﹣8a﹣2， 即[（16+m）﹣5（m﹣12）]（﹣4a﹣1）＝﹣8a﹣2， ∵a≠0，∴（16+m）﹣5（m﹣12）＝2，解得m＝
．故答案为
．
7．如图，由12根铅丝焊接成一个正方体框架．现要将每个正方形的4根铅丝分别涂上红、黄、蓝、白4种颜色．如果已将AD涂成红色，BF涂成黄色，GH涂成蓝色，那么该涂成白色的铅丝有 ．
7．解：∵每个正方形的4根铅丝分别涂上红、黄、蓝、白4种颜色．AD涂成红色，BF涂成黄色，GH
涂成蓝色．∴涂成红色的铅丝只能有EF、FG、CG，而FG不合题意，则涂成红色的铅丝有EF、CG； 同理涂成黄色的铅丝有EH、CD；涂成蓝色的铅丝有AE、BC．则涂成白色的铅丝有：AB、DH、FG． 故答案为：AB、DH、FG．
8．某旅游团一行50人到某旅社住宿，该旅社有三人间、双人间和单人间三种客房，其中三人间每人每晚20元，双人间每人每晚30元，单人间每晚50元．已知该旅行团住满了20间客房，且使总的住宿费用最省．那么这笔最省的住宿费用是 元，所住的三人间、双人间、单人间的间数依次是 ． 8．【解答】解：设该旅行团住三人间x间，双人间y间，单人间z间，总住宿费为a元．
则由题意得
由②﹣①得 2x+y＝30，即y＝30﹣2x④ 由②﹣①×2得 x﹣z＝10，即z＝x﹣10 ⑤ ∵0≤y≤20，即0≤30﹣2x≤20，解得5≤x≤15 ⑥ 同理0≤z≤20，即0≤x﹣10≤20，解得10≤x≤30 ⑦ 由⑥⑦知 10≤x≤15
将④⑤代入③得 a＝60x+60（30﹣2x）+50（x﹣10）＝1300﹣10x?x＝130﹣∴10≤
≤15?1200≤a≤1150∴这笔最省的住宿费用是1150元，此时x＝15
再将x的值代入④⑤得 y＝0、z＝5故答案为1150，15、0、5．
9．△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c．若AC、BC上的中线BE、AD垂直相交于点O，则c可用a、b的代数式表示为 ．
9．【解答】解：∵AC、BC上的中线BE、AD垂直相交于点O， 于是，中线BE、AD，E和D是AC，BC上的中点由题可知， ∴∠BOA＝90°，BD＝CD＝，AE＝EC＝，
∵E，D为中点，故DE为中线＝AB＝，∴①BO2+DO2＝（）2， ②AO2+EO2＝（）2，③DO2+EO2＝（）2，
④BO2+AO2＝c2，∴①+②＝③+④，∴5c2＝a2+b2． 故c＝
．故答案为：c＝
．
10．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，∠AOC＝60°，点P在AB的延长线上，且PB＝BO＝3cm．连接PC交半圆于点D，过P作PE⊥PA交AD的延长线于点E，求PE长．
10．【解答】解：如图，连接BD，BE，∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝∠PDE＝∠AOC＝30°， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDE＝90°，∵PE⊥PA，∴∠BPE＝90°，∴∠BDE＝∠BPE＝90°， ∴∠BDE+∠BPE＝180°，∴点B，P，E，D四点共圆，∴∠PBE＝∠PDE＝30°， 在Rt△BPE中，tan∠PBE＝
，∴tan30°＝
＝
，∴PE＝
．
三、解答题（每小题15分，共60分）
11．设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x2﹣6x+a＝0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围．
11．【解答】解：∵方程x2﹣6x+a＝0有实数根，∴△＝36﹣4a≥0，
（1）当△＝0时，即△＝36﹣4a＝0，解得a＝9，此时三角形为等边三角形； （2）当△＞0，即△＝36﹣4a＞0时，解得a＜9，
设两根为x1，x2（x1＜x2）此时存在一个等腰三角形底边为x1，腰为x2，此时不存在一个等腰三角形底边为x2，腰为x1即最短两边（即两腰）之和不大于最大边（即底边）即2x1≤x2，
由根与系数的关系可得，3x1≤x1+x2＝6，∴x1≤2，∵x1+x2＝6，x1?x2＝a， ∴a＝x1?（6﹣x1），＝6x1﹣（x1）2＝﹣（3﹣x1）2+9＝﹣（3﹣x1）2+9≤8， ∴当0＜a≤8，a＝9时，三角形只有一个．
12．若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同．如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕．现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的．问：（1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？（2）参加装卸的有多少名工人？
12．【解答】解：（1）设装卸工作需x小时完成，则第一人干了x小时，最后一个人干了小时，两人共干活
小时，平均每人干活
小时，
小时．
由题意知，第二人与倒数第二人，第三人与倒数第三人，平均每人干活的时间也是根据题得
，解得x＝16（小时）；
（2）共有y人参加装卸工作，由于每隔t小时增加一人，因此最后一人比第一人少干（y﹣1）t小时，按题意，得解此不定方程得
，
，即（y﹣1）t＝12． ，
，
，
，
即参加的人数y＝2或3或4或5或7或13．
13．（15分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝∠A．求证：BD＝2CD．
13．【解答】证明：作DO∥AB交AC于O．则由AB＝AC易知OD＝OC，且∠DOC＝∠BAC＝2∠CED， 所以O为△EDC的外心，
取F为△EDC的外接圆与AC的交点，连接DF，则OF＝OC＝OD，∠ACE＝∠ADF． 所以△ACE∽△ADF，即有
＝
． 再由DO∥AB，∠ADO＝∠BAE，∠AOD＝180﹣∠DOC＝180°
＝
＝
＝
．
﹣∠A＝180°﹣∠BED＝∠AEB，所以△ADO∽△BAE，即得
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