解：设小球运动到最低点时，其质心速 度为v，绕质心转动的角速度为ω，由机械
22212能守恒，有mg(R?r)?1 mv?(mr)?225只滚不滑条件：ω=v/r,代入上式，可求得 v?710(R?r)g
在最低点应用质心运动定理： N?mg?mv2/(R?r)
73?N?m[g?v2/(R?r)]?m(g?10g)?27mg，作用于导轨的正压力与此等大，方向向
下。
7.6.1 汽车在水平路面上匀速行驶，后面牵引旅行拖车，假设拖车仅对汽车施以水平向后的拉力F.汽车重W,其重心与后轴垂直距离为a,前后轴距离为l，h表示力F与地面的距离。问汽车前后论所受地面支持力与无拖车时有无区别？试计算之。
解：隔离汽车，受力
情况如图所示（摩擦力没 C F 有画出，因与此题无关）。 h 在竖直方向应用力平 N1 W a N2 l 衡方程：N1?N2?W(1) 以前轮为支点，由力矩平衡方程，N2l?W(l?a)?Fh(2) 由（2）解得：N2?W(1?a/l)?Fh/l 将N2代入(1)中得：N1?Wa/l?Fh/l
令F=0，即得到无拖车时前后轮的支持力N1’和N2’。显然，有拖车时，前轮支持力减小，后轮支持力增大。
7.6.3 电梯高2.2m，其质心在中央，悬线亦在中央。另有负载50310kg，其重心离电梯中垂线相距0.5m。问⑴当电梯匀速上升时，o 光滑导轨对电梯的作用力，不计摩擦（电梯仅在四角处受导轨作用
l 何？ 力）；⑵当电梯以加速度0.05m/s2上升时，力如
N Nl?mgb 解：⑴以o为轴,据力矩平衡条件：Mg mg N?mgb/l?50?10?9.8?0.5/2.2?1.114?103N
⑵设电梯的加速度为a，以电梯为参考系，负载除受重力外，还受惯性力作用f*=ma,方向向下, 据力矩平衡条件：Nl?m(g?a)b
N?m(g?a)b/l?50?10(9.8?0.05)0.5/2.2?1.119?103N
7.7.1环形框架质量为0.20kg，上面装有质量为1.20kg的回转仪，框架下端置于光滑的球形槽内，回转仪既自传又旋进，框架仅随回转仪的转动而绕铅直轴转动，回转仪自身重心以及它连同框架的重心均在C点，C点与转动轴线的垂直距离为r z r=0.02m，回转仪绕自转轴的转动惯量为4.8310-4kgm2,自转角速度为120rad/s. ⑴求旋进角速度；⑵求支架球形N 槽对支架的总支承力。
x C 解：根据旋进与自旋的关系式：
(m1+m2)g ??(m?m2)gr(0.2?1.2)?9.8?0.02??1??4.76rad/s ?4I?I?4.8?10?120把回转仪与支架当作一个系统，设球形槽对支架的支承力为N，整个装置的质心C相对竖直轴做匀速圆周运动，由质心运动定理：
Nx?(m1?m2)r?2?(0.2?1.2)?0.02?4.762?0.63N Nz?(m1?m2)g?(0.2?1.2)?9.8?13.72NN?Nx?Nz?0.632?13.722?13.73N与竖直轴夹角??arctg22Nx0.63?arctg?2.63? Nz13.73第八章基本知识小结
⒈弹性体力学研究力与形变的规律；弹性体的基本形变有拉伸压缩形变和剪切形变，
弯曲形变是由程度不同的拉伸压缩形变组成，扭转形变是由程度不同的剪切形变组成。
⒉应力就是单位面积上作用的内力；如果内力与面元垂直就叫正应力，用σ表示；如果内力方向在面元内，就叫切应力，用τ表示。
⒊应变就是相对形变；在拉压形变中的应变就是线应变，如果l0表示原长，Δl表示绝对伸长或绝对压缩，则线应变ε= Δl/l0；在剪切形变中的应变就是切应变，用切变角ψ表示。
⒋力与形变的基本规律是胡克定律，即应力与应变成正比。 在拉压形变中表示为 σ= Yε，Y是由材料性质决定的杨氏模量，在剪切形变中表示为 τ=
Nψ，N是由材料性质决定的切变模量。
⒌发生形变的弹性体具有形变势能：
2拉压形变的形变势能密度 Ep?1， Y?20剪切形变的形变势能密度 Ep?012N?2。
12? Ybh3⒍梁弯曲的曲率与力偶矩的关系 k?⒎杆的扭转角与力偶矩的关系 ??C?,C??NR42l
8.1.1 一钢杆的截面积为5.0310-4m2，所受轴向外力如图所示，试计算A、B，B、C和C、D之间的应力。
F1?6?104N,F2?8?104N,F3?5?104N,F4?3?104N
解： E G H
F1 F2 F3 F4 A B C D 根据杆的受力情况，可知杆处于平衡状态。分别在AB之间E处，BC之间G处，CD之间H处作垂直杆的假想截面S。
隔离AE段，由平衡条件，E处S面上的内力F=F1,∴A、B之间的应力
??F/S?F1/S?6?1045.0?10?4?1.2?108N/m2
隔离AG段，由平衡条件，G处S面上的内力F=F2-F1,∴B、C之间压应力
F(8?6)?1082???F?????0.4?10N/m s5.0?1021?44隔离HD段，由平衡条件，H处S面上的内力F=F4,∴C、D之间的应力
??F/S?F4/S?3?1045.0?10?4?0.6?108N/m2
8.1.2 利用直径为0.02m的 C 钢杆CD固定刚性杆AB.若CD杆
内的应力不得超过σmax=163107Pa 0.8m T .问B处最多能悬挂多大重量？ A D B 解：隔离AB，以A点为轴，
0.6m 1.0m 由力矩平衡条件，有
T?0.81.02?0.82?1.0?W?(1.0?0.6)?W?0.39T
W 隔离CD，杆CD应力σ=T/S,∴T=σS=σπ(D/2)2.杆能承受的最大拉力
2741N Tmax??D4?max?4?3.14?0.02?16?10?5.02?102B处能悬挂的最大重量 Wmax?0.39Tmax?1.96?104N
8.1.3 图中上半段为横截面等于4.0310-4m2
且杨氏模量为6.931010Pa的铝制杆，下半段为横
3m 截面等于1.0310-4m2且杨氏模量为19.631010Pa 的钢杆，又知铝杆内允许最大应力为7.83107Pa,
2m 钢杆内允许最大应力为13.73107Pa.不计杆的自
重，求杆下端所能承担的最大负荷以及在此负荷
下杆的总伸长量。 F 解：设铝杆与钢杆的长度、横截面、杨氏模量、应力分别为：l1、S1、Y1、σ1，l2、S2、Y2、σ2., 显然，σ1=F/S1，σ2=F/S2.
设铝杆和钢杆所能承担的最大负荷分别为F1max，F2max，则
F1max??1maxS1?7.8?107?4.0?10?4?3.12?104N F2max??21maxS2?13.7?107?1.0?10?4?1.37?104N
整个杆的最大负荷应取钢杆的最大负荷：Fmax?1.37?104N
根据拉伸形变的胡克定律，对于铝杆
FmaxS1?Y?l1l1，所以，
?l1?Fmaxl1Y1S1；对于钢杆，同样有 ?l2?l1Y1S1Fmaxl2Y2S2. 整个杆的伸长量是：
?l??l1??l2?Fmax(?l2Y2S2)
?32.0?1.37?104(6.9?10103?.0m ?4?10?4)?2.89?104.0?1019.6?10?1.0?10
8.1.4 电梯用不在一条直线上的三根钢索悬挂。电梯质量为500kg。最大负载极限5.5kN。每根钢索都能独立承担总负载，且其应力仅为允许应力的70%，若电梯向上的最大加速度为g/5,求钢索直径为多少？将钢索看作圆柱体，且不计其自重，取钢的允许应力为6.03108Pa. T T T
解：设每根钢索承受拉力为T,电梯自重为 W=mg,负荷为W'=m'g.由牛顿第二定律，
a 3T?W?W'?(m?m')a?0.2(m?m')gW’ T?13[W?W'?0.2(m?m')g] 1?3(1.2mg?1.2W')?0.4(mg?W')?0.4?(500?9.8?5.5?103)?4.16?103N设钢索直径为D，每根钢索的应力
???(0.T5D)2W
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