d2yxxxx?????????sinx?f22??)， ?ef?e(ef?sinx?f)?cosx?f?sinx(ef211111222dxd2y??(1,1)?f2?(1,1)。 |?f1?(1,1)?f11则2x?0dx（16）（本题满分10分） 求limn???nk?1nk2kln(1?)。
n1kk1nkk【解】lim?2ln(1?)?lim?ln(1?)??xln(1?x)dx
0n??n??nnnk?1nk?1nn111211(x2?1)?121??ln(1?x)d(x)?xln(1?x)|0??dx 202201?x?111111111ln2??(x?1?)dx?ln2???ln2?。 2201?x24224y(x)由方程x3?y3?3x?3y?2?0确定，求y(x)的极值。 ?y3?3x?3y?2?0两边对x求导得
（17）（本题满分10分） 已知函数【解】x33x2?3y2y??3?3y??0，令y??0得x1??1,x2?1，对应的函数值为y1?0，y2?1； 3x2?3y2y??3?3y??0两边再对x求导得
由由
6x?6yy?2?3y2y???3y???0，
y??(?1)?2?0得x??1为极小点，极小值为y?0； y??(?1)??1?0得x?1为极大点，极大值为y?1。
（18）（本题满分10分） 设函数
f(x)在[0,1]上二阶可导且f(1)?0，limx?0?f(x)?0。 x证明：（I）方程（II）方程
f(x)在(0,1)内至少有一个实根；
f(x)f??(x)?f?2(x)?0在(0,1)内至少有两个不同的实根。
f(x)?0得f(0)?0，
x?0?xf(x)又存在??0，当x?(0,?)时，?0，即当x?(0,?)时f(x)?0，
x【证明】（I）由
lim于是存在c?(0,?)，使得因为
f(c)?0，
f(c)f(1)?0，所以存在x0?(c,1)?(0,1)，使得f(x0)?0。
?f(x)f?(x)，
（II）令?(x)因为?(0)??(x0)?0，
?(0,x0)?(0,1)，使得??(?)?0，
所以由罗尔定理，存在?而??(x)即
?f(x)f??(x)?f?2(x)，故f(?)f??(?)?f?2(?)?0，
f(x)f??(x)?f?2(x)?0在(0,1)内至少一个实根。
（19）（本题满分10分） 设薄片型物体
S是圆锥面z?x2?y2被柱面
z2?2x割下的有限部分，其上任一点的密度为
?(x,y,z)?9x2?y2?z2，记圆锥面与柱面的交线为C。
（I）求C在xoy平面上的投影曲线方程。 （II）求S的质量M。
22??z?x?y,22【解】（I）由?得x?y?2x，
2??z?2x故C在xoy平面上的投影曲线为
?(x?1)2?y2?1,L:?
?z?0???9x2?y2?z2ds，
S（II）M由z?x?xx2?y2,z?y?yx2?y2得ds2?2?1?z?2dxdy， x?zydxdy?则M???9x2?y2?z2ds?92??x2?y2?2dxdy
SD??18??x?ydxdy?18?2?d??D?2222cos?0r2dr
816?18??2?cos3?d??18??2cos3?d??64。
3?230??（20）（本题满分11分） 设3阶矩阵A?且?3(?1,?2,?3)有三个不同的特征值，
??1?2?2。
（I）证明：r(A)（II）若??2
的通解。
??1??2??3，求方程组AX??【证明】（I）设因为
A的特征值为?1,?2,?3，
A有三个不同的特征值，所以A可以相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得
??1?P?1AP?????2???， ?3???2，
因为?1,?2,?3两两不同，所以r(A)又因为?3??1?2?2，所以?1,?2,?3线性相关，从而r(A)?3，于是r(A)?2。
（II）因为r(A)?2，所以AX?O基础解系含一个线性无关的解向量，
的通解为
由???1?2?2??3?0,得AX????1??2??3??
?1??1?????X?k?2???1?（k为任意常数）。
??1??1?????22f(x1,x2,x3)?2x12?x2?ax3?2x1x2?8x1x3?2x2x3在正交变换X?QY下
（21）（本题满分11分）
设二次型
的标准型为?1y122??2y2，求a的值及一个正交矩阵。
1?4??2?x1??????11?，X??x2?，f(x1,x2,x3)?XTAX【解】A??1??41?x?a????3?因为?3，
?0，所以|A|?0。
2由|1?11?41??3(a?2)?0得a?2。 aA|?1?4??2由|?E?14?1??(??3)(??6)?0得?1??3,?2?6,?3?0。
?A|??14??1?1??2?51?4??10?1?????21???011?得 由?3E?A??1??415??000??????1????1??3对应的线性无关的特征向量为?1???1?；
?1????4?14??101?????6E?A??17?1?010由????得
?4?14??000???????1????2?6对应的线性无关的特征向量为?2??0?；
?1????10?1??1?????由0E?A??01?2?得?3?0对应的线性无关的特征向量为?3??2?。
?000??1?????规范化得
?1???1??1?????111???1???1?，?2??0?，?3??2?，
3??2??6???1??1??1??1??3?1故正交矩阵为Q???3??1??3（22）（本题满分11分）
?120121??6?2??。 6?1??6??0设随机变量X,Y相互独立，X~?1??2（I）求P{Y（II）求Z2??2y,0?y?1,1?，Y的密度为fY(y)?? ?0,其他?2??EY}。
?X?Y的概率密度。
【解】（I）EY??y?2ydy?0212， 324P{Y?EY}?P{Y?}??32ydy?。
039（II）FZ(z)当z当z?P{Z?z}?P{X?Y?z}，
?0时，FZ(z)?0； ?3时，FZ(z)?1；
z?1时，FZ(z)?P{X?0,Y?z}?P{X?0,Y?z}
；
当0?1zz2?P{X?0}P{Y?z}??2ydy?202当1?当2?z?2时，FZ(z)?P{X?0,Y?z}?P{X?0}P{Y?1}?z?3时，FZ(z)?P{X?0,Y?z}?P{X?2,Z?z?2}
1； 211z?211?P{X?0}P{Y?1}?P{X?2}P{Z?z?2}???2ydy??(z?2)2，
22022?0,z?0,?2?z,0?z?1,?2即FZ(z)??
?1?1(z?2)2,2?z?3,?22?1,z?3??z,0?z?1,?fZ(z)??z?2,2?z?3,。
?0,其他?密度为
（23）（本题满分11分）
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量?是已知的，设n次测量结果误差ZiX1,X2,?,Xn相互独立且均服从正态分布N(?,?2)。该工程师记录的是n次测量的绝对
。
?|Xi??|（i?1,2,?,n），利用Z1,Z2,?,Zn估计?（I）求Zi的概率密度。
（II）利用一阶矩求?的矩估计量。 （III） 【解】
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