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§6 消费者均衡模型
当一个消费者用一定数额的钱去购买两种商品时，分别用多少钱买甲和乙能得到最大的满意度。经济学上称这种最优状态为消费者均衡。 一、无差别曲线
如果占有x1数量的商品X和y1数量的商品Y（下图p1点）与占有x2的X和y2的Y（下图
p2点）是同样的满意的话，称p1和p2是无差别的。或者说p1和p2相比，愿意以Y的减少
（y1?y2）换取X的增加（x2?x1）。所有与p1、p2具有同样满意度的点组成一条无差别曲线
MN，而比这些点的满意程度更高的点如p3则位于另一条无差别曲线M1N1上，这样有无数条
无差别曲线，记作f(x,y)?C。 y 其中C称满意度，随着C的增加，曲线向右上方移动。无差别曲线应是单调减的（x增大时y减小），下凸的（当占有的X较y1小时，愿以较多的Y变换较少的X，而当占有的X较大时，就要y2用较多的X换取换取较少的Y）。和互不相交的（否则交点处有0不同的满意度）。
二、消费者均衡
记 p1―甲商品的单价，q1―购买甲商品的数量，
Mp1 Mp3 p2 Nx1x2x0 x
xxp2―乙商品的单价，q2―购买乙商品的数量
当消费者占有甲、乙两种商品的数量分别是q1、q2时的满意程度，或者说它们给消费者带来的效用，是q1、q2的函数，记作u(q1,q2)，称为效用函数（utility function）。显然u(q1,q2)?c的图形是无差别曲线族。 q2 若消费者有s（元）钱，购买甲、乙两种商品，消费者均衡
qsp2 u(q1,q2)?c状态在什么情况下达到，归纳为在条件p1q1?p2q2?s 下求比例
qQ p1q1/p2q2q，使效用函数
u(q1,q2)达最大。
sp1 qqq1L(q1,q2)?u(q1,q2)??(p1q1?p2q2?s)?u??L???p1?0???q1?q1 ??L?u????p2?0??q?q2?2qqq数学建模
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?u?q1p?1 （1）于是得消费者均衡状态达到条件是 ?up2?q2即两种商品的边际效用之比恰好等于价格比时达到。一般构造效用函数时应注意满足条件：
?u?u?2u?2u?2u?2u ?0， ?0，2?0，2?0，?0，?0
?q1?q2?q1?q2?q2?q1?q1?q2这时u(q1,q2)?c确定的一元函数q2?q2(q1)是单调减下凸的。
?udq?q1?0 说明q2?q2(q1)单调减少 因为 ①2??udq1?q2?d2q2d?dq2???②???2?dq1?dq1?dq1??u?q222??2y?2udq2??u??u?udq2?????????2??q2?q?qdq??q??q?q?q2dq1?121?1?12?1??0
2??u????q???2?说明q2?q2(q1)是下凸的。
下面列举几个常用的效用函数，分析消费者均衡状态下，最优比例p1q1/p2q2的实际意义。 1、u(q1,q2)?q1q2，(?,??0)
?q1??q2根据(1)式求得
p1q1?p1 （2） ?p2q2?p2表明均衡状态下买两种商品所用钱的比例与价格比的平方根成正比，同时与?,?有关, ?越大(?越大)购买甲的钱越少(多)。说明效应函数中?和?分别表示对甲和乙的偏爱程度。 ２、u(q1,q2)?q1q2， ?0??,u?1?
?u根据（１）式求得
p1q1? ? （3）
p2q2?表明均衡状态下买两种商品所用的钱的比例与价格无关,而参数?和?分别表示消费者对甲和乙的偏爱程度。
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