x22y2
所以椭圆C1，C2的标准方程分别为＋y＝1，＋x2＝1.(5分)
22
(2) 由题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，m)． y??2＋x2＝1，（kx＋m）22k2?2m2?由?消去y得＋x＝1，即?1＋2?x＋kmx＋－1＝0， 22
??y＝kx＋m，km
1＋??－1?＝0，即k2＋2－m2＝0.(7分) Δ＝km－4??2??2?
2
2
2
2
2
x??2＋y2＝1，12?2x22
由?消去y得＋(kx＋m)2＝1，即??2＋k?x＋2kmx＋m－1＝0. 2??y＝kx＋m，
111因为直线l与椭圆C1相交，有Δ＝4k2m2－4(＋k2)·(m2－1)＝4(k2－m2＋)>0 (*)．
222－2km±x1，2＝
11k2－m2＋?4?22??
.(9分)
12?2??2＋k?
2
3→3→
因为QA＝QB，即(x1，y1－m)＝(x2，y2－m)，有5x1＝3x2，所以
55－2km＋
5
1111k2－m2＋?－2km－4?k2－m2＋?4?22?22???
＝3
112?2???2?2＋k?2?2＋k?1111
k2－m2＋?－2km＋4?k2－m2＋?4?22?22???
3，
112?2???2?2＋k?2?2＋k?
11k2－m2＋或km＝－4
22
1111k2－m2＋?.(12分) k2－m2＋，即k2m2＝16?22??22
－2km－
或5
化简，得km＝4
22??k＝2，k＝4，??22
??又因为k＋2－m＝0，解得2或2均符合(*)式，故k＝±2或±2. ?m＝4?m＝6，??
所以直线l的斜率为±2或±2.(14分) 二、达标训练
x2y22
1、(2019宿迁期末）如图所示，椭圆M：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，右准线方程为x＝4，过点P(0，
ab24)作关于y轴对称的两条直线l1，l2，且l1与椭圆交于不同两点A，B，l2与椭圆交于不同两点D，C.
(1) 求椭圆M的方程；
(2) 证明：直线AC与直线BD交于点Q(0，1)； (3) 求线段AC长的取值范围．
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思路分析 对于(2)，要求证明交于一点Q(0，1)，角度一：根据图形的对称性可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(－x1，y1)，C(－x2，y2)，再设l1方程为y＝kx＋4，则可由一元二次方程根与系数的关系判断出点B，D，Q三点共线，同理有点A，C，Q三点共线，这个角度的逻辑是借助了给出的定点(0，1)，然后验证，有些不严谨；角度二：直接求直线AC和直线BD的方程，联立求解坐标，这个方法是逻辑严谨的首选，不过计算量稍大．对于(3)，可由两点间的距离公式表示出AC的长度，将表达式的关于x1，x2的结构用含有k的式子代换掉，回归一元变量，求解最值，可直接求导. 但是解析几何中的最值，直接求导，暴力求解最值的较少，更多的是化简函数表达式，根据结构采用基本不等式(无法取等的时候就求导来解决)来求解最终的最值(或者值域)，必然要有定义域，所以寻找函数的定义域是非常重要的，而解析几何中直线和曲线联立(曲直联立)以后的关于x(或者y)的一元二次方程有解，判别式就是很重要的一个点，也就是定义域的一个重要来源，有些题目甚至是唯一来源．
2＝，?e＝ca2
规范解答 (1)由?得a＝2
a
?c＝4，
2
2，c＝2，所以b2＝a2－c2＝4，
x2y2
所以椭圆M的方程为＋＝1.(4分)
84
(2)解法1 设直线l1：y＝kx＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由对称性可知D(－x1，y1)，C(－x2，y2)． xy??8＋4＝1，联立?消去y得(1＋2k2)x2＋16kx＋24＝0,
??y＝kx＋4，所以x1＋x2＝又kBQ＝
－16k24
.(6分) 2，x1·x2＝1＋2k1＋2k22
2
y2－1y1－1
，kDQ＝， x2－x1
48k
－
1＋2k2y2－1y1－1kx2＋3kx1＋33（x1＋x2）
则kBQ－kDQ＝－＝＋＝2k＋＝2k＋＝2k－2k＝0，(8分)
x2x2x1x1x224－x1
1＋2k2知kBQ＝kDQ，故点B，D，Q三点共线，即直线BD经过点Q(0，1)． 同理可得直线AC经过点Q(0，1)．
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所以直线AC与直线BD交于点Q(0，1)．(10分)
解法2 设直线l1：y＝kx＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由对称性可知D(－x1，y1)，C(－x2，y2)，且kxy??＋＝1，y2－y1
84＝.联立?削去y得(1＋2k2)x2＋16kx＋24＝0，Δ＝(16k)2－4(1＋2k2)·24＝64k2－96>0.
x2－x1
??y＝kx＋4，
16k24
所以x1＋x2＝，x·x＝.(6分)
1＋2k2121＋2k2直线AC的方程为y＝－
y2－y1y2－y1
(x－x1)＋y1＝－(x－x1)＋kx1＋4. x2＋x1x2＋x1
2
2
y2－y1y2－y1
直线BD的方程为y＝(x－x2)＋y2＝(x－x2)＋kx2＋4.
x2＋x1x2＋x1
y2－y1k（x1－x2）12xk
联立直线AC和直线BD的方程并化简得k(x1＋x2)＝，即＝＝－1，即
x2＋x1y2－y1x2＋x1x2＋x1－k2x
＝－1＝－1，解得x＝0.
x2＋x1
y2－y1kx2－kx12kx2x1在直线AC的方程中，令x＝0，得y＝－(－x1)＋kx1＋4＝－(－x1)＋kx1＋4＝＋4.
x2＋x1x2＋x1x2＋x148k
1＋2k2－16k242kx2x1将x1＋x2＝，x·x2＝代入计算得y＝＋4＝＋4＝－3＋4＝1.
1＋2k211＋2k2x2＋x1－16k
1＋2k248k1＋2k22kx2x1
同理可得，在直线BD的方程中，令x＝0，得y＝＋4＝＋4＝－3＋4＝1.
x2＋x1－16k
1＋2k2故直线AC与直线BD交于点Q(0，1)．
(3)由(2)可知AC2＝(x1＋x2)2＋(y1－y2)2＝(x1＋x2)2＋k2(x1－x2)2
2
＝(x1＋x2)2＋k2[（x1＋x2）－4x1·x2]
2216k24?4k4＋10k2162k22?＝＋k（1＋2k2）2－4×1＋2k2＝16×4 ??（1＋2k2）24k＋4k2＋1
6k－1??＝16?1＋4?.(12分)
?4k＋4k2＋1?t＋1
令t＝6k2－1，则k2＝.
6
3
又由Δ＝162k2－4×24×(1＋2k2)>0得k2>，所以t>8，
2所以AC2＝16＋
9t
]＝16(1＋2]＝16(1＋
t＋8t＋16
9
)．(14分) 16t＋＋8
t
2
1616
t＋＋8?′＝1－2>0在t∈(8，＋∞)上恒成立， 因为??t?t
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16
所以t＋＋8在t∈(8，＋∞)上单调递增，
t169193
所以t＋＋8>18, 0<<，1<1＋<. t162162
t＋＋8t＋＋8
tt
所以16 x2y2x2y2 2、(2018扬州期末）已知椭圆E1：2＋2＝1(a>b>0)，若椭圆E2：2＋2＝1(a>b>0，m>1)，则称椭圆 abmambE2与椭圆E1“相似”． x22 (1) 求经过点(2，1)，且与椭圆E1：＋y＝1“相似”的椭圆E2的方程． 2(2) 若椭圆E1与椭圆E2“相似”，且m＝4，椭圆E1的离心率为→→ 椭圆E1于A，B两点，且AP＝λAB. ①若B的坐标为(0，2)，且λ＝2，求直线l的方程； 1 ②若直线OP，OA的斜率之积为－，求实数λ的值． 2 2 ，P在椭圆E2上，过P的直线l交2 x2y2 规范解答 (1) 设椭圆E2的方程为＋＝1，将点(2，1)代入得m＝2， 2mmx2y2 所以椭圆E2的方程为＋＝1.(3分) 42(2) 因为椭圆E1的离心率为 2 ，故a2＝2b2，所以椭圆E1：x2＋2y2＝2b2. 2 又椭圆E2与椭圆E1“相似”，且m＝4，所以椭圆E2：x2＋2y2＝8b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)． ①解法1(设线法) 由题意得b＝2，所以椭圆E1：x2＋2y2＝8.当直线l斜率不存在时，B(0，2)，A(0，→→ －2)，P(0，4)，不满足AP＝2AB，从而直线l斜率存在，可设直线l：y＝kx＋2， 代入椭圆E1：x2＋2y2＝8得(1＋2k2)x2＋8kx＝0， －8k2－4k2 解得x1＝，x＝0，故y1＝，y＝2， 1＋2k221＋2k22 第 19 页 共 24 页 ?－8k，2－4k?.(5分) 所以A???1＋2k21＋2k2? 2＋12k2?8k→→?，又AP＝2AB，即B为AP中点，所以P??，(6分) ?1＋2k21＋2k2?代入椭圆E2：x2＋2y2＝32得 2＋12k??8k2?＋2??1＋2k2?＝32， ?1＋2k??? 即20k4＋4k2－3＝0，即(10k2－3)(2k2＋1)＝0，所以k＝±3030 ，所以直线l的方程为y＝±x＋2.(8分) 1010 2 2 22 解法2(设点法) 由题意得b＝2，所以椭圆E1：x2＋2y2＝8，E2：x2＋2y2＝32.由A(x1，y1)，B(0，2)，则P(－x1，4－y1)． 2 ?x2?1＋2y1＝8，130 代入椭圆得?2解得y1＝，故x1＝±，(6分) 222??x1＋2（4－y1）＝32， 所以直线l的斜率k＝±30 ， 10 30 x＋2.(8分) 10 所以直线l的方程为y＝±22222222 ②由题意得x20＋2y0＝8b，x1＋2y1＝2b，x2＋2y2＝2b， 1y0y11 解法1(设点法) 由直线OP，OA的斜率之积为－，得·＝－，即x0x1＋2y0y1＝0. 2x0x12x＋（λ－1）x x＝，??λ→→ 又AP＝λAB，则(x－x，y－y)＝λ(x－x，y－y)，解得?(12分) y＋（λ－1）y ，??y＝λ 0 1 2 0 1 0 1 2 1 2 1 0 1 2 ?x0＋（λ－1）x1?＋2?y0＋（λ－1）y1?＝2b2， 所以????λλ???? 2222222则x20＋2(λ－1)x0x1＋(λ－1)x1＋2y0＋4(λ－1)y0y1＋2(λ－1)y1＝2λb， 22222222222(x20＋2y0)＋2(λ－1)(x0x1＋2y0y1)＋(λ－1)(x1＋2y1)＝2λb，所以8b＋(λ－1)·2b＝2λb，即4＋(λ－ 22 5 1)2＝λ2，所以λ＝.(16分) 2 解法2(设线法) 不妨设点P在第一象限，设直线OP：y＝kx(k>0)，代入椭圆E2：x2＋2y2＝8b2， 解得x0＝ 22b22bk ，则y＝. 0 1＋2k21＋2k211 直线OP，OA的斜率之积为－，则直线OA：y＝－x，代入椭圆E1：x2＋2y2＝2b2， 22k解得x1＝－ 2bkb ，则y＝. 1 1＋2k21＋2k2 第 20 页 共 24 页
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