医用物理习题集（第九章 静电场）

UA???0aEA?dr??0a??r????2?2?00?R???2?dr? a?a?2?04?0?oUB?obEB?dr?2?bEB?dr??REB?dr??Rb??R2????2?r2?00???dr?????r????R?2?2?00?0??dr????R2?0lnRba???2?0?R?b??2?R4?022∴

??R2?0UA－ＵB=

?2?0?4?0a－

?R2?0lnRb??2?0(R?b)??4?0R2??R2?0

化简后：ＵA－ＵB=

1??b?222??R?a??Rln??b?a ??2?0?2R???9—13．一个电偶极子的l?0.02m，q?1.0?10?6C，把他放在1.0?105N?C?1的均匀电场中，其轴线与电场成300，求外电场作用于该偶极子的库仑力与力矩。

解：如图9—13，电偶极子在外电场中受电场力作用，F正?qE， F负??qE，是大小相等方向相反的平行力，即 F正??F负，∴ F合?0

力矩 Ｍ＝Ｆlsin300＝E?q?l?sin300 ＝1.0?10?1.0?10

9—14．试证明在距离电偶极子中心等距离对称之三点上，其电势的代数和为零。 证：如图9—14 ，已知A、B、C三点对电偶极子中O等距离对称，根据电偶极子电场的电势U?kpr25?6?0.02?12?1?10?3N?m

cos?

设A、B、C三点与O点的距离为r，电矩p与OA的夹角为?， 则A、B、C三点的电势分别为：

UA?kUB?kUc?k

pr2cos? cos120cos240prpr2???? ???k?2???pr2cos120?????— 47 —

利用三角函数关系 cos?(??)=cos?cos??sin?sin? 将UB、UC中的余弦展开，并由cos120o?cos(90o?30)?-sin30??oo12 即可得证。具体证明如下：

UA?UB?UC?kpr2pr2cos??kpr2?cos?120?????cos120?????????kcos??kpr2??cos1202?cos??sin120sin??cos120cos??sin120sin???????kpr2cos??kpr?2cos120cos??kpr2?pr2cos??kpr2pr2?2cos90?30pr2????cos?

?kpr2cos??k?2sin30?cos??kcos??kcos??09—15．一空气平行板电容器在充电后注入石蜡，试比较下列两种情况下该电容器内各量的变化，并填入表中。

电量Q 场强E 电势差?U 电容C 场能密度we

石腊注入前电容 器已不与电源相接

不变 减小 减小 增大 减小

石腊注入时 电容器仍与电源相接

增大 不变 不变 增大 增大

d29—16．平行板电容器的极板面积为S，间距为d，将电容器接在电源上，插入厚的均匀电介质板，其相对介电常数为ε

r

。试问

解：设未插入电介质时的场强为E0，

E0?Ud （U为电容器两板间的电势差）

插入电介质板后，由电位移概念，应用有电介质时的高斯定理可知，电容器内电介质内外的电位移是相等的（设为D），由电位移与场强的关系D??E可得： D??r?0E内??0E外 ， ∴ E内?1E外 ，于是得：

E内E外?r?1?r （1）

又因为电介质板插入电容器后，电容器两极板间的

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电势差不变 ∴ E内?d2?E外?d2?U?E0?d （2）

由（1）式与（2）式可得：

E内E0?21??r ，

E外E0?2?r1??r

1答：电容器中电介质内、外场强之比是

E内E021??rE外E02?r1??r?r。它们和插入电介质之前的场强之比分别

是

? 和

? 。

解法2：

插入电介质之前电容器的电容C0?q?C0U??0Sd，电容器极板上的电量

?0SUd ，电容器内的场强E0?Ud 。

插入电介质后，可视为两个电容串联，设有电介质的电容为C1，无电介质的电容为C2 。则：

C1??r?0Sd2?2?r?0Sd ， C2?C1C2?0Sd2?2?0Sd ；

。

它们串联的总电容为：C??C1?C2?2?r?0Sd??r?1?由于电压仍为U ，故电容器极板上的电量变为：

q??C?U?2?r?d??r0SU?1? ，

则两个电容器上的电压分别为：

U1?q?C1q?C2?2?r?0SUd??r?1?2?r?0SUd??r?1??2?r?0Sd??r?1?2?0Sd??U?r?1

U2????rU?r?1所以两个电容器内的场强分别为：

E1?U1d2?2U1d?2Ud(?r?1)?E内

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E2?U2d2?2U2dE内E0?2?rUd(?r?1)21??r?E外

E外E02?r1??r ∴

E内E外?1?r ，

? ，

? 。

9—17．两个面积为a2的平板平行放置、并垂直于x轴，其中之一位于x?0处，另一位于x?l处，其间为真空。现测得两板间的电势分布U?电场能量是多少？

dUdx1234x，则两板间储存的

2d(?323解：根据场强和电势的关系E??12l0l4?dx2x)??232lx

1294∴ W??wedV??VV?0EdV=?320?0(?x)?adx=?20?0x?adx

22 =??0ax8323=??0a2l3

8

9—18．一半径为R，带电量为Q的导体球置于真空中，试求其电场的总能量。 解：均匀导体球，球内无电荷，E内?0，电荷均匀分布在球表面，所以球外场强为： E外?Q4??0r2

2在均匀导体球外，半径从r到r?dr之间球壳体积为：dV?4?rdr，其中的电场

能量为：dW?12?0E外dV，故总能量为：

?EdV=

2外2W??dW??2?V1?020??R(Q4??0r2)?4?rdr=

22Q8??20??drr2R?Q28??0R

9—19．在半径为R的金属球外，包有一半径为R?的均匀电介质层，设电介质的相对介电常量为εr，金属求带电量Q。求：

（1）电介质内、外的场强分布与电势分布。 （2）金属球的电势。

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R（3）电介质内电场的能量。 解：如图7－19所示，

(1) 由于金属导体内有可以自由移动的“自由电荷”，这些电荷在导体上将移动到使导体内任意点的场强都为零后，取定这种分布，否则，自由电荷还要移动。因此，金属球内的场强E金属球内?0 。

n由电介质的高斯定理

??D?ds??qsi?1oi

Q4??rQ4??0r22作半径r（>）的高斯球面可得：D?Q4?rD?2当RR?时（介质外）： E外??D

?0?

?当R

?4???rR?当r>R?时（介质外）： U外??E外dr?r?Q4??0r

（2）金属球的电势

在U内式中，令r?R，得： U?（3）电介质内的电场能量

W??r?1?Q?1??? 4???RR??V?21?E内dV?2?R?R1?Q??22?4??r?2?Q?R??R?2??? ??4?rdr??8???RR??2

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