如图所示，轨迹2的圆心为O′，则四边形MO′PO为菱形，可得∠MO′P＝∠MOP＝π
∠NOP＝，
3
T2π
则粒子偏转的时间t′＝，又T＝，
3ω02π
得t′＝
3ω0
由于转动方向与射出孔不确定，讨论如下：
2π
，所以3
①当圆筒顺时针转动时，设筒转动的角速度变为ω1，若从N点离开，则筒转动时间满足 π
＋2kπ3t′＝，
ω1
6k＋1
得ω1＝ω0，其中k＝0,1,2,3，…
2若从M点离开，则筒转动时间满足 π
＋(2k＋1)π3t′＝，
ω1
6k＋4
得ω1＝ω0，其中k＝0,1,2,3，…
23n＋1
综上可得ω1＝ω0，其中n＝0,1,2,3，…
2
②当圆筒逆时针转动时，设筒转动的角速度变为ω2；若从M点离开，则筒转动时间满足 2π
＋2kπ33·2k＋2t′＝，得ω2＝ω0，其中k＝0,1,2,3，…
ω22若从N点离开，则筒转动时间满足 2π
＋(2k＋1)π3t′＝，
ω2
3(2k＋1)＋2
得ω2＝ω0，其中k＝0,1,2,3，…
2综上可得ω2＝
3n＋2
ω0，其中n＝0,1,2,3，… 2
3n＋1
综上所述，圆筒角速度大小应为ω1＝ω0
23n＋2
或者ω2＝ω0，其中n＝0,1,2,3，…
2
答案 见解析
3．如图7所示，以竖直线MN为界，左侧空间有水平向右的匀强电场，右侧空间有竖直向上的匀强电场和垂直纸面水平向外的匀强磁场。在左侧空间O点用长为L的不可伸长的轻质绝缘细绳悬挂质量为m、带电荷量为q的小球。现使细绳拉直，从A点静止释放小球，小球绕O点做圆周运动，B点为圆周上速度最大点，已知OA与竖直方向夹角θ1＝30°，OB与竖直方向夹角θ2＝60°，左右两侧空间电场强度大小之比为E1∶E2＝3∶1，重力加速度为g＝10 m/s2。
图7
(1)求左侧空间电场强度大小；
(2)求小球运动到B点时，小球对细绳的拉力大小；
(3)若小球运动到B点时，细绳突然断开，小球运动一段时间后，从MN边界上某点进入右侧空间运动，然后又从MN边界上另一点回到左侧空间运动，最后到达OB线上某点P时速度变为零，求小球在右侧空间运动的时间。
解析 (1)要使小球在B点的速度最大，则重力与电场力的合力沿OB方向，则 mg3mg
tan 30°＝?E1＝q。
qE1
(2)设小球运动到B点时速度大小为v0，小球所受重力与电场力的合力为： F＝
mg
＝2mg sin 30°
从A到B，对小球由动能定理得： 12
FL＝mv0
2
联立解得：v0＝4gL
v20
在B点由牛顿第二定律：FT－F＝mL 在B点时，细绳对小球的拉力为：FT＝6mg 由牛顿第三定律知小球对细绳的拉力大小为6mg。
(3)设小球从MN边界上的C点进入右侧空间，从D点出右侧空间，从B到C，小球做类平抛运动，进入MN右侧空间后：
E2＝
E1mg
＝，即qE2＝mg 3q
小球在右侧空间做匀速圆周运动，小球回到左侧空间后，到OB线上某点P速度减小到零，O′为小球在MN右侧空间做圆周运动的轨迹圆心，过C点作BD的垂线交BD于Q点。由几何关系得∠CDQ＝60°，∠QCD＝30°，∠O′CD＝∠O′DC＝30°，在C点小球速度方向与界面夹角也为60°。
设小球从B到C的运动时间为tB，在MN右侧空间做圆周运动半径为R，运动时间为t。 由几何关系得：CD＝2Rcos 30°，QC＝CD×cos 30°＝1.5R 从B到C，由运动学规律得： QC＝v0tB，v0＝vcos 30°， F
vsin 30°＝atB，a＝m＝2g 以上各式联立解得：R＝
43L43gL
，v＝ 93
2
小球在MN右侧空间做圆周运动的圆心角为240°，即圆周，故小球在MN右侧运动的时间为：
322πR×
34π
t＝v＝9
Lg。
Lg 3mg4π
答案 (1)q (2)6mg (3)
9
4．如图8所示，ab为一长度为l＝1 m的粒子放射源，该放射源能同时释放出大量带正电的粒q
子，已知粒子的比荷均为m＝1.6×105 C/kg，带电粒子的重力以及粒子之间的相互作用均可忽略。图中的虚线ef距离ab为h＝1 m，在虚线ef的上方存在垂直纸面向里的匀强磁场。若以a点为坐标原点、以ab为x轴、以ad为y轴建立坐标系，则图中曲线ac的轨迹方程为y＝x2，在曲线ac与放射源ab之间的区域Ⅰ内存在竖直向上的匀强电场，且电场强度的大小为E1＝2.0×102 N/C，图中的虚线ad⊥ef，在ad左侧l＝1 m处有一长度也为h＝1 m的荧光屏MN，在ad与MN之间的区域Ⅱ内存在水平向左的匀强电场，电场强度大小为E2，某时刻放射源由静止释放大量带正电的粒子。(结果保留两位有效数字)
图8
(1)从ab中点释放的粒子到达虚线ef的速度v1为多大？
(2)如果所有的粒子均从同一位置离开匀强磁场，则该磁场的磁感应强度B为多大？
(3)在满足第(2)问的条件下，如果所有的粒子均能打到荧光屏上，则E2的最小值为多少？当E2
取这个最小值时，运动时间最短的粒子的运动总时间为多少？
解析 (1)由题意，设由粒子放射源发射的某个粒子由静止释放时与a点的距离为x，则其在区1
域Ⅰ中加速的位移y＝x2，设粒子射出区域Ⅰ时的速度大小为v，由动能定理可得E1qy＝mv2，联立
2可得v＝
2E1qmx
1
从ab的中点释放的粒子释放时距a点x1＝m，
2代入数据可解得v1＝4.0×103 m/s。
v2
(2)所有带电粒子进入磁场后做匀速圆周运动，设轨迹半径为r，由牛顿第二定律可得qvB＝mr，mv1解得r＝qB＝B
2mE1qx
分析可知，当磁感应强度B一定时，轨迹半径r与x成正比，当x趋近于零时，粒子做圆周运动的轨迹半径趋近于零，即所有粒子经磁场偏转后都从d点射出磁场，且有2r＝x，联立并代入数据解得B＝0.10 T。
(3)粒子从d点沿竖直向下的方向进入区域Ⅱ的电场后，所有粒子均在电场力作用下做类平抛运动，若所有带电粒子均能打到荧光屏上，则从b点释放的粒子刚好运动到荧光屏上的N点时对应电场强度最小，设为E2min，设该粒子由d点进入电场的初速度为v2，则v2＝
2E1q
ml，设粒子在区域
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