江苏省扬州市2019-2020学年中考数学四模考试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列运算正确的是（ ） A．a3?a2=a6 C．（a﹣b）2=a2﹣b2
B．（2a）3=6a3 D．3a2﹣a2=2a2
2．已知⊙O的半径为5，弦AB=6，P是AB上任意一点，点C是劣弧?AB的中点，若△POC为直角三角形，则PB的长度（ ） A．1
B．5
C．1或5
D．2或4
3．如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE沿线段DE向下折叠，得到图1．下列关于图1的四个结论中，不一定成立的是（ ）
A．点A落在BC边的中点 C．△DBA是等腰三角形
B．∠B+∠1+∠C=180° D．DE∥BC
4．下列各数中，相反数等于本身的数是（ ） A．–1
B．0
C．1
D．2
5．小明在九年级进行的六次数学测验成绩如下（单位：分）：76、82、91、85、84、85，则这次数学测验成绩的众数和中位数分别为（ ） A．91，88
B．85，88
C．85，85
D．85，84.5
6．据媒体报道，我国最新研制的“察打一体”无人机的速度极快，经测试最高速度可达204000米/分，这个数用科学记数法表示，正确的是（ ）
A．204×103 B．20.4×104 C．2.04×105 D．2.04×106
7．为喜迎党的十九大召开，乐陵某中学剪纸社团进行了剪纸大赛，下列作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
8．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（ ） A．
4 5B．
3 5C．
2 5D．
1 59．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则BD两点间的距离为（ ）
A．2
B．22 C．10 D．25 10．老师随机抽查了学生读课外书册数的情况，绘制成条形图和不完整的扇形图，其中条形图被墨迹遮盖了一部分，则条形图中被遮盖的数是（ ）
A．5
11．如图，在边长为
B．9 C．15 D．22
的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点
P到边AB所在直线的距离为（ ）
A． B． C． D．1
12．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，则
可列方程组为（ ）
?x?y?100?A．?1
x?3y?100??3C．??x?y?100?B．? 13x?y?100?3?D．??x?y?100
?x?3y?100?x?y?100
?3x?y?100二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，随机闭合开关K1，K2，K3中的两个，能让两盏灯泡l1和l2同时发光的概率为___________．
14．已知x?11?6，则x2?2?______ xx15．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE?5，F为DE的中点．若?CEF的周长为18，则OF的长为________．
16．分解因式：x2﹣1=____． 17．若|a|=20160，则a=___________.
18．如图，点A1，B1，C1，D1，E1，F1分别是正六边形ABCDEF六条边的中点，连接AB1，BC1，CD1，DE1，EF1，FA1后得到六边形GHIJKL，则S六边形GHIJKI：S六边形ABCDEF的值为____.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）已知：如图，一次函数y?kx?b与反比例函数y?3的图象有两个交点A(1,m)和B，过点Ax作AD?x轴，垂足为点D；过点B作BC?y轴，垂足为点C，且BC?2，连接CD.
求m，k，b的值；求四边形ABCD的面积.
20．（6分）如图,矩形ABCD中,点P是线段AD上一动点, O为BD的中点, PO的延长线交BC于Q.
(1)求证: OP?OQ;
(2)若AD=8cm,AB?6cm,P从点A出发,以lcm/s的速度向D运动(不与D重合).设点P运动时间为
t(s),请用t表示PD的长;并求t为何值时,四边形PBQD是菱形.
21．（6分）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D，C，G，K在同一直线上）．（cos80°≈0.17，sin80°≈0.98，2≈1.414）
（1）此时小强头部E点与地面DK相距多少？
（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？ 22．,求∠2的度数. （8分）如图,直线AB∥CD,BC平分∠ABD,∠1=65°
23．（8分）已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1＝1．若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；当a为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a的值及方程的根．
24．（10分）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，AC=DC，E为AB边的中点， （1）尺规作图：作∠C的平分线CF，交AD于点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接EF，若BD=4，求EF的长．
25．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，E为⊙O上的一点，连接DE，BE，DE与AB交于点F.求证：BC为⊙O的切线；若F为OA的中点,⊙O的半径为2，求BE的长.
26．（12分）如图①，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M，则图中VADE≌△DFC，可知ED?FC，求得?DMC?______．如图②，在矩形
ABCD(AB?BC)的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M．
?1?求证：ED?FC．
?2?若?ADE?20o，求?DMC的度数．
27．（12分）定义：如果把一条抛物线绕它的顶点旋转180°得到的抛物线我们称为原抛物线的“孪生抛物线”．
(1)求抛物线y＝x2﹣2x的“孪生抛物线”的表达式；
(2)若抛物线y＝x2﹣2x+c的顶点为D，与y轴交于点C，其“孪生抛物线”与y轴交于点C′，请判断△DCC’的形状，并说明理由：
(3)已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点C，与x轴正半轴的交点为A，那么是否在其“孪生抛物线”上存在点P，在y轴上存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P点
的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．D 【解析】
试题分析：根据同底数幂相乘，底数不变指数相加求解求解；
根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘求解； 根据完全平方公式求解； 根据合并同类项法则求解． 解：A、a3?a2=a3+2=a5，故A错误； B、（2a）3=8a3，故B错误；
C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故C错误； D、3a2﹣a2=2a2，故D正确． 故选D．
点评：本题考查了完全平方公式，合并同类项法则，同底数幂的乘法，积的乘方的性质，熟记性质与公式并理清指数的变化是解题的关键． 2．C 【解析】 【分析】
由点C是劣弧AB的中点，得到OC垂直平分AB，求得DA=DB=3，根据勾股定理得到OD==1，若△POC为直角三角形，只能是∠OPC=90°，则根据相似三角形的性质得到PD=2，于是得到结论． 【详解】
∵点C是劣弧AB的中点， ∴OC垂直平分AB， ∴DA=DB=3， ∴OD=52?32?4，
若△POC为直角三角形，只能是∠OPC=90°， 则△POD∽△CPD，
∴
PDCD?， ODPD∴PD2=4×1=4， ∴PD=2， ∴PB=3﹣2=1， 根据对称性得，
当P在OC的左侧时，PB=3+2=5， ∴PB的长度为1或5.
故选C． 【点睛】
考查了圆周角，弧，弦的关系，勾股定理，垂径定理，正确左侧图形是解题的关键． 3．A 【解析】 【分析】
根据折叠的性质明确对应关系，易得∠A=∠1，DE是△ABC的中位线，所以易得B、D答案正确，D是AB中点，所以DB=DA，故C正确． 【详解】
根据题意可知DE是三角形ABC的中位线，所以DE∥BC；∠B+∠1+∠C=180°；∵BD=AD，∴△DBA是等腰三角形．故只有A错，BA≠CA．故选A． 【点睛】
主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．还涉及到翻折变换以及中位线定理的运用．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
（1）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．通过折叠变换考查正多边形的有关知识，及学生的逻辑思维能力．解答此类题最好动手操作． 4．B 【解析】 【分析】
根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数． 【详解】
解：相反数等于本身的数是1． 故选B． 【点睛】
本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，1的相反数是1． 5．D 【解析】
试题分析：根据众数的定义：出现次数最多的数，中位数定义：把所有的数从小到大排列，位置处于中间的数，即可得到答案．众数出现次数最多的数，85出现了2次，次数最多，所以众数是：85，
76，82，84，85，85，91，84，85，把所有的数从小到大排列：位置处于中间的数是：因此中位数是：（85+84）÷2=84.5，故选D． 考点：众数，中位数
点评：此题主要考查了众数与中位数的意义，关键是正确把握两种数的定义，即可解决问题 6．C
105，故选C． 【解析】试题分析：204000米/分，这个数用科学记数法表示2.04×考点：科学记数法—表示较大的数． 7．C 【解析】 【分析】
根据轴对称和中心对称的定义去判断即可得出正确答案. 【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：C． 【点睛】
本题考查的是轴对称和中心对称的知识点，解题关键在于对知识点的理解和把握. 8．B 【解析】
试题解析：列表如下：
∴共有20种等可能的结果，P（一男一女）=故选B． 9．C 【解析】
123=． 205解：连接BD．在△ABC中，∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=2．∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE=4，DE=3，∴BE=2．在Rt△BED中，BD=BE2?DE2?12?32?10．故选C．
点睛：本题考查了勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练． 10．B 【解析】 【分析】
条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数． 【详解】
25%＝24（人）课外书总人数：6÷， 看5册的人数：24﹣5﹣6﹣4＝9（人），
故选B． 【点睛】
本题考查了统计图与概率，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键． 11．D 【解析】
试题分析：∵△ABC为等边三角形，BP平分∠ABC，∴∠PBC=∠ABC=30°，∵PC⊥BC，∴∠PCB=90°，
在Rt△PCB中，PC=BC?tan∠PBC==1，∴点P到边AB所在直线的距离为1，故选D．
考点：1．角平分线的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形；4．勾股定理． 12．B 【解析】 【分析】
设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：大马数+小马数=100，大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程即可． 【详解】
解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：
?x?y?100?， 1?3x?y?100?3?故选：B． 【点睛】
本题主要考查的是由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．
1 3【解析】 【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两盏灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】 解：画树状图得：
由树状图得：共有6种结果，且每种结果的可能性相同，其中能让两盏灯泡同时发光的是闭合开关为：K1、K3与K3、K1共两种结果， ∴能让两盏灯泡同时发光的概率=故答案为：【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 14．34 【解析】
21=， 631． 311?1?2∵x??6，∴x?2=?x???2?62?2?36?2?34，
xx?x?故答案为34. 15．
27 2【解析】 【分析】
先根据直角三角形的性质求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而可得出BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论． 【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BO?DO，BC?CD，?BCD?90?． 在Rt?DCE中，F为DE的中点， ∴CF?1DE?EF?DF． 2∵?CEF的周长为18，CE?5， ∴CF?EF?18?5?13，
∴DE?DF?EF?13．
在Rt?DCE中，根据勾股定理，得DC?132?52?12， ∴BC?12， ∴BE?12?5?7．
在?BDE中，∵BO?DO，F为DE的中点， 又∵OF为?BDE的中位线，
17BE?． 227故答案为：.
2∴OF?【点睛】
本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中． 16．（x+1）（x﹣1）． 【解析】
试题解析：x2﹣1=（x+1）（x﹣1）． 考点：因式分解﹣运用公式法． 17．±1 【解析】
1. 试题分析：根据零指数幂的性质（a?1(a?0)），可知|a|=1，座椅可知a=±18．
04. 7【解析】 【分析】
设正六边形ABCDEF的边长为4a，则AA1＝AF1＝FF1＝2a．求出正六边形的边长，根据S六边形GHIJKI：S
六边形ABCDEF＝(
GL2
)，计算即可； AF【详解】
设正六边形ABCDEF的边长为4a，则AA1＝AF1＝FF1＝2a，
作A1M⊥FA交FA的延长线于M， 在Rt△AMA1中，∵∠MAA1＝60°， ∴∠MA1A＝30°，
∴AM＝
1AA1＝a， 2∴MA1＝AA1·cos30°=3a，FM＝5a，
在Rt△A1FM中，FA1＝FM2?MA12?27a， ∵∠F1FL＝∠AFA1，∠F1LF＝∠A1AF＝120°， ∴△F1FL∽△A1FA，
FLF1LFF1??∴， FAAA1A1F∴
2a1FLF1L??， 4a2a27a4727a，F1L＝a， 7727a， 7∴FL＝
根据对称性可知：GA1＝F1L＝∴GL＝27a﹣6787a＝a， 77∴S六边形GHIJKI：S六边形ABCDEF＝(故答案为：【点睛】
GL24)＝， AF74． 7本题考查正六边形与圆，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数解决问题．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
3319．（1）m?3，k=，b?.（2）6
22【解析】 【分析】
（1）用代入法可求解，用待定系数法求解；（2）延长AD，BC交于点E，则?E?90?.根据
S四边形ABCD?S?ABE?S?CDE求解.
【详解】
解：（1）∵点A(1,m)在y?∴m?3， ∵点B在y?3上，且BC?2， x3上， x∴B(?2,?).
∵y?kx?b过A，B两点，
32?k?b?3?∴?3，
?2k?b???2?3?k???2解得?，
3?b??2?33∴m?3，k=，b?.
22（2）如图，延长AD，BC交于点E，则?E?90?. ∵BC?y轴，AD?x轴， ∴D(1,0)，C(0,?)， ∴AE?329，BE?3， 2∴S四边形ABCD?S?ABE?S?CDE
11??AE?BE??CE?DE 221913???3??1? 2222?6.
∴四边形ABCD的面积为6.
【点睛】
考核知识点：反比例函数和一次函数的综合运用.数形结合分析问题是关键. 20． (1)证明见解析；(2) PD=8-t，运动时间为【解析】 【分析】
(1)先根据四边形ABCD是矩形，得出AD∥BC，∠PDO=∠QBO，再根据O为BD的中点得出
7秒时，四边形PBQD是菱形． 4△POD≌△QOB，即可证得OP=OQ；
(2)根据已知条件得出∠A的度数，AB=6cm，再根据AD=8cm，得出BD和OD的长，再根据四边形PBQD是菱形时，利用勾股定理即可求出t的值，判断出四边形PBQD是菱形． 【详解】
(1)∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠PDO=∠QBO， 又∵O为BD的中点， ∴OB=OD，
在△POD与△QOB中，
??PDO??QBO?， ?OD?OB??POD??QOB?∴△POD≌△QOB， ∴OP=OQ； (2)PD=8-t，
∵四边形PBQD是菱形， ∴BP=PD= 8-t，
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2=BP2， 即62+t2=(8-t)2，
7， 47即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形．
4解得：t=【点睛】
本题考查了矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识是解题关键.注意数形结合思想的运用.
21． (1) 小强的头部点E与地面DK的距离约为144.5 cm.(2) 他应向前9.5 cm. 【解析】
试题分析：（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．求出MF、FN的值即可解决问题； （2）求出OH、PH的值即可判断；
试题解析：解：（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．
∵EF+FG=166，FG=100，∴EF=66，∵∠FGK=80°∴FN=100sin80°≈98，∵∠EFG=125°∴∠EFM=180°，，
=45°=332≈46.53，∴MN=FN+FM≈144.5，∴此时小强头部E点与地面﹣125°﹣10°，∴FM=66cos45°DK相距约为144.5cm．
（2）过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H．∵AB=48，O为AB中点，∴AO=BO=24，∵EM=66sin45°≈46.53，∴PH≈46.53，∵GN=100cos80°≈17，CG=15，∴OH=24+15+17=56，OP=OH﹣PH=56﹣46.53=9.47≈9.5，∴他应向前9.5cm．
22．50°. 【解析】 【详解】
试题分析：由平行线的性质得到∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDE=180°，由BC平分∠ABD，得到∠ABD=2∠ABC=130°，于是得到结论． 解：∵AB∥CD， ∴∠ABC=∠1=65°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABD=2∠ABC=130°， ∴∠BDE=180°﹣∠ABD=50°， ∴∠2=∠BDE=50°．
【点评】
本题考查了平行线的性质和角平分线定义等知识点，解此题的关键是求出∠ABD的度数，题目较好，难度不大． 23．（3）a=【解析】
11，方程的另一根为；（2）答案见解析. 52【分析】
（3）把x=2代入方程，求出a的值，再把a代入原方程，进一步解方程即可；
（2）分两种情况探讨：①当a=3时，为一元一次方程；②当a≠3时，利用b2－4ac＝3求出a的值，再代入解方程即可． 【详解】
（3）将x＝2代入方程(a?1)x?2x?a?1?0，得4(a?1)?4?a?1?0，解得：a＝
21． 5将a＝
11424代入原方程得?x?2x??0，解得：x3＝，x2＝2．
5552∴a＝
11，方程的另一根为； 52（2）①当a＝3时，方程为2x＝3，解得：x＝3.
②当a≠3时，由b2－4ac＝3得4－4(a－3)2＝3，解得：a＝2或3． 当a＝2时， 原方程为：x2＋2x＋3＝3，解得：x3＝x2＝－3； 当a＝3时， 原方程为：－x2＋2x－3＝3，解得：x3＝x2＝3． 综上所述，当a＝3，3，2时，方程仅有一个根，分别为3，3，－3. 考点：3.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用. 24． (1)见解析；（1）1 【解析】 【分析】
（1）根据角平分线的作图可得；
（1）由等腰三角形的三线合一，结合E为AB边的中点证EF为△ABD的中位线可得． 【详解】
（1）如图，射线CF即为所求；
（1）∵∠CAD=∠CDA，
∴AC=DC，即△CAD为等腰三角形； 又CF是顶角∠ACD的平分线，
∴CF是底边AD的中线，即F为AD的中点， ∵E是AB的中点， ∴EF为△ABD的中位线，
∴EF=BD=1． 【点睛】
本题主要考查作图-基本作图和等腰三角形的性质、中位线定理，熟练掌握等腰三角形的性质、中位线定理是解题的关键． 25．（1）证明见解析；（2）【解析】 【分析】
（1）连接BD，由圆周角性质定理和等腰三角形的性质以及已知条件证明∠ABC=90°即可；
（2）连接OD，根据已知条件求得AD、DF的长，再证明△AFD∽△EFB，然后根据相似三角形的对应边成比例即可求得. 【详解】 （1）连接BD，
610 5
∵AB为⊙O的直径，∴BD⊥AC， ∵D是AC的中点，∴BC=AB， ∴∠C=∠A＝45°， ∴∠ABC=90°， ∴BC是⊙O的切线；
（2）连接OD，由（1）可得∠AOD=90°， ∵⊙O的半径为2， F为OA的中点， ∴OF=1， BF=3，AD?22?22?22，
∴DF?OF2?OD2?12?22?5，
??BD?， ∵BD∴∠E=∠A， ∵∠AFD=∠EFB， ∴△AFD∽△EFB， ∴
DFBF53?，即， ?ADBE22BE∴BE?610. 5【点睛】
本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用；证明某一线段是圆的切线时，一般情况下是连接切点与圆心，通过证明该半径垂直于这一线段来判定切线. 26．阅读发现：90° ；（1）证明见解析；（2）100°【解析】 【分析】
阅读发现：只要证明?DFC??DCF??ADE??AED?15o，即可证明． 拓展应用：?1?欲证明ED?FC，只要证明VADE≌△DFC即可．
?2?根据?DMC??FDM??DFC??FDA??ADE??DFC即可计算．
【详解】
解：如图①中，Q四边形ABCD是正方形，
?AD?AB?CD，?ADC?90o， QVADE≌△DFC，
?DF?CD?AE?AD，
Q?FDC?60o?90o?150o，
??DFC??DCF??ADE??AED?15o， ??FDE?60o?15o?75o， ??MFD??FDM?90o， ??FMD?90o，
故答案为90o
?1?QVABE为等边三角形，
??EAB?60o，EA?AB．
QVADF为等边三角形，
??FDA?60o，AD?FD． Q四边形ABCD为矩形，
??BAD??ADC?90o，DC?AB．
?EA?DC．
Q?EAD??EAB??BAD?150o，?CDF??FDA??ADC?150o，
??EAD??CDF．
在VCDF中， EAD和V?AE?CD???EAD??FDC， ?AD?DF?CDF． ?VEAD≌V?ED?FC；
?2?QVEAD≌VCDF，
??ADE??DFC?20o，
??DMC??FDM??DFC??FDA??ADE??DFC?60o?20o?20o?100o．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的寻找解决问题，属于中考常考题型．
27．=-x2+2x-2;（2）等腰Rt△，（1）y=-（x-1）2（3）P1（3，-8），P2（-3，-20）. 【解析】 【分析】
（1）当抛物线绕其顶点旋转180°后，抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，则可根据顶点式写出旋转后的抛物线解析式；
（2）可分别求出原抛物线和其“孪生抛物线”与y轴的交点坐标C、C′，由点的坐标可知△DCC’是等腰直角三角形；
（3）可求出A（3，0），C（0，-3），其“孪生抛物线”为y=-x2+2x-5，当AC为对角线时，由中点坐标可知点P不存在，当AC为边时，分两种情况可求得点P的坐标． 【详解】
（1）抛物线y=x2-2x化为顶点式为y=（x-1）2-1，顶点坐标为（1，-1），由于抛物线y=x2-2x绕其顶点旋转180°后抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反， 则所得抛物线解析式为y=-（x-1）2-1=-x2+2x-2； （2）△DCC'是等腰直角三角形，理由如下： ∵抛物线y=x2-2x+c=（x-1）2+c-1，
∴抛物线顶点为D的坐标为（1，c-1），与y轴的交点C的坐标为（0，c），
∴其“孪生抛物线”的解析式为y=-（x-1）2+c-1，与y轴的交点C’的坐标为（0，c-2）， ∴CC'=c-（c-2）=2，
∵点D的横坐标为1， ∴∠CDC'=90°，
由对称性质可知DC=DC’， ∴△DCC'是等腰直角三角形；
（3）∵抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点C，与x轴正半轴的交点为A， 令x=0，y=-3，令y=0时，y=x2-2x-3，解得x1=-1，x2=3， ∴C（0，-3），A（3，0）， ∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴其“孪生抛物线”的解析式为y=-（x-1）2-4=-x2+2x-5， 若A、C为平行四边形的对角线， ∴其中点坐标为(
33，?)， 22设P（a，-a2+2a-5），
∵A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴Q（0，a-3），
3a?3?a2?2a?5∴＝?，
22化简得，a2+3a+5=0，△＜0，方程无实数解， ∴此时满足条件的点P不存在，
若AC为平行四边形的边，点P在y轴右侧，则AP∥CQ且AP=CQ， ∵点C和点Q在y轴上， ∴点P的横坐标为3，
3-5=-9+6-5=-8， 把x=3代入“孪生抛物线”的解析式y=-32+2×∴P1（3，-8），
若AC为平行四边形的边，点P在y轴左侧，则AQ∥CP且AQ=CP， ∴点P的横坐标为-3，
把x=-3代入“孪生抛物线”的解析式y=-9-6-5=-20， ∴P2（-3，-20）
∴原抛物线的“孪生抛物线”上存在点P1（3，-8），P2（-3，-20），在y轴上存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】
本题是二次函数综合题型，主此题主要考查了根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，解题的关键是求出旋转后抛物线的顶点坐标以及确定出点P的位置，注意分情况讨论．
Administrator A d m i n i s t r a t o r
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