说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．
（2）由图1．2－3，得
x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)． （3）由图1．2－4，得
x2?(a?b)xy?aby2＝(x?ay)(x?by) （4）xy?1?x?y＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）． 2．提取公因式法与分组分解法 例2 分解因式：
（1）x3?9?3x2?3x； （2）2x2?xy?y2?4x?5y?6．
解： （1）x3?9?3x2?3x=(x3?3x2)?(3x?9)=x2(x?3)?3(x?3) =(x?3)(x2?3)． 或
x3?9?3x2?3x＝(x3?3x2?3x?1)?8＝(x?1)3?8＝
(x?1)3?23
＝[(x?1)?2][(x?1)2?(x?1)?2?22] ＝(x?3)(x2?3)．
（2）2x2?xy?y2?4x?5y?6=2x2?(y?4)x?y2?5y?6 =2x2?(y?4)x?(y?2)(y?3)=(2x?y?2)(x?y?3)．
或
2x2?xy?y2?4x?5y?6=(2x2?xy?y2)?(4x?5y)?6
=(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6 =(2x?y?2)(x?y?3)．
x y
－1 1
图1．2－5
3．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解． 若关于x的方程ax2?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1、x2，则二次三项式ax2?bx?c(a?0)就可分解为a(x?x1)(x?x2).
例3 把下列关于x的二次多项式分解因式：
（1）x2?2x?1； （2）x2?4xy?4y2． 解： （1）令x2?2x?1=0，则解得x1??1?2，x2??1?2，
??? ∴x2?2x?1=??x?(?1?2)??x?(?1?2)?
=(x?1?2)(x?1?2)．
（2）令x2?4xy?4y2=0，则解得x1?(?2?2y2，)x1?(?2?22)y，
∴x2?4xy?4y2=[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]． 练 习 1．选择题：
多
项
式
2x2?xy?15y2的一个因式为
（ ）
（A）2x?5y （B）x?3y （C）x?3y （D）x?5y 2．分解因式：
（1）x2＋6x＋8； （2）8a3－b3；
（3）x2－2x－1； （4）4(x?y?1)?y(y?2x)．
习题1．2
1．分解因式：
（1） a3?1； （2）4x4?13x2?9； （3）b2?c2?2ab?2ac?2bc； （4）3x2?5xy?2y2?x?9y?4． 2．在实数范围内因式分解：
（1）x2?5x?3 ； （2）x2?22x?3； （3）3x2?4xy?y2； （4）(x2?2x)2?7(x2?2x)?12． 3．?ABC三边a，b，c满足a2?b2?c2?ab?bc?ca，试判定?ABC的形状．
4．分解因式：x2＋x－(a2－a)．
1.2分解因式
1． B 2．（1）(x＋2)(x＋4) （2）(2a?b)(4a2?2ab?b2) （3）(x?1?2)(x?1?2) （4）(2?y)(2x?y?2)．
习题1．2
1．（1）?a?1??a2?a?1? （2）?2x?3??2x?3??x?1??x?1? （3）?b?c??b?c?2a? （4）?3y?y?4??x?2y?1? 2．（1）??x???5?13??5?13?x?； （2）x?2?5x?2?5； ??????2??2????? （3）
?2?7??2?7?3?x?yx?y???????33????； （4）
?x?3?(x?1)(x?1?3．等边三角形
4．(x?a?1)(x?a)
5)(x?1?5)．
2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
因为a≠0，所以，4a2＞0．于是
（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
?b?b2?4ac x1，2＝；
2ab2b2?4ac (x?)?． ①
2a4a2（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两
个等的实数根
x1＝x2＝－左边(x?b； 2a（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的
b2)一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根． 2a由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
?b?b2?4ac x1，2＝；
2a
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