2017-2018学年浙江省杭州市上城区八年级(下)期末数学试卷

2017-2018学年浙江省杭州市上城区八年级（下）期末数学试卷

一.选择题（本题有10小题每小题3分，共30分） 1．（3分）在下列式子中，x可以取1和2的是（ ） A．

B．

C．

D．

2．（3分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（﹣2，6），则k的值是（ ） A．﹣3

B．3

2

C．12 D．﹣12

3．（3分）若关于x的方程x+5x+a＝0有一个根为﹣2，则a的值是（ ） A．6

B．﹣6

C．14

D．﹣14

4．（3分）如图，若要使?ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）

A．AB＝BC

B．∠ABD＝∠DBC

C．AO＝BO

D．AC⊥BD

5．（3分）某校八年级（1）班全体学生进行了第一次体育中考模拟测试，成绩统计如下表：

成绩（分） 人数（人） 24 6 25 5 26 5 27 8 28 7 29 7 30 4 根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ） A．该班一共有42名同学

B．该班学生这次考试成绩的众数是8 C．该班学生这次考试成绩的平均数是27 D．该班学生这次考试成绩的中位数是27分

6．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x﹣a与y＝（a≠0）的图象可能是（ ）

A． B．

第1页（共25页）

C． D．

的结果为（ ）

7．（3分）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则|a﹣b|﹣

A．b

B．2a﹣b

C．﹣b

D．b﹣2a

8．（3分）某学校拟建一间矩形活动室，一面靠墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，建成后的活动室面积为75m，求矩形活动室的长和宽，若设矩形宽为x，根据题意可列方程为（ ）

2

A．x（27﹣3x）＝75 C．x（30﹣3x）＝75

B．x（3x﹣27）＝75 D．x（3x﹣30）＝75

9．（3分）如图，将?ABCD沿对角线AC进行折叠，折叠后点D落在点F处，AF交BC于点E，有下列结论：①△ABF≌△CFB；②AE＝CE；③BF∥AC；④BE＝CE，其中正确结论的个数是（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

10．（3分）如图在4×5的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，定义：以网格中小正方形顶点为顶点的正方形叫作格点正方形，图中包含“△”的格点正方形有（ ）个．

第2页（共25页）

A．11

B．15

C．16

D．17

二.填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是 边形．

12．（4分）要用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，首先应假设 ． 13．（4分）若

﹣1的整数部分是a，小数部分是b，则代数式a+2b的值是 ．

22

2

14．（4分）已知关于x的方程mx+2（m﹣1）x+1＝0有实数根，则满足条件的最大整数解m是 ．

15．（4分）如图，在?ABCD中，分别设P，Q，E，F为边AB，BC，AD，CD的中点，设T为线段EF的三等分点，则△PQT与?ABCD的面积之比是 ．

16．（4分）如图，已知点A（1，a）与点B（b，1）在反比例函数y＝（x＞0）图象上，点P（m，0）是x轴上的任意一点，若△PAB的面积为2，此时m的值是 ．

三.解答题（本题有8小题共66分） 17．（6分）（1）计算：﹣

+

×

（2）解方程：3x（x+4）＝2（x+4）

第3页（共25页）

18．（6分）已知正比例函数y1＝mx的图象与反比例函数y2＝图象有一个交点的横坐标是2． （1）求m的值；

（2）写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围． 19．（6分）如图，已知线段a，b，∠α（如图）．

（m为常数，m≠0）的

（1）以线段a，b为一组邻边作平行四边形，这样的平行四边形能作 个． （2）以线段a，b为一组邻边，它们的夹角为∠α，作平行四边形，这样的平行四边形能作 个，作出满足条件的平行四边形（要求仅用直尺和圆规，保留作图痕迹，不写做法）

20．（8分）某公司计划从两家皮具生产能力相近的制造厂选择一家来承担外销业务，这两家厂生产的皮具款式和材料都符合要求，因此只需要检测皮具质量的克数是否稳定，现从两家提供的样品中各抽取了6件进行检查，超过标准质量部分记为正数，不足部分记为负数，若该皮具的标准质量为500克，测得它们质量如下（单位：g） 厂家 甲 乙 超过标准质量的部分 ﹣3 ﹣2 0 0 1 2 0 1 ﹣1 0 1 1 （1）分别计算甲、乙两厂抽样检测的皮具总质量各是多少克？ （2）通过计算，你认为哪一家生产皮具的质量比较稳定？

21．（8分）如图，在?ABCD中，CE平分∠BCD，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，CE与DF交于点P，连接EF，BP． （1）求证：四边形CDEF是菱形；

（2）若AB＝2，BC＝3，∠A＝120°，求BP的值．

第4页（共25页）

22．（10分）某G20商品专卖店每天的固定成本为400元，其销售的G20纪念徽章每个进价为3元，销售单价与日平均销售的关系如下表： 销售单价（元） 日平均销售量（瓶） （1）设销售单价比每个进价多x元，用含x的代数式表示日销售量．

（2）若要使日均毛利润达到1840元（毛利润＝总售价﹣总进价﹣固定成本），且尽可能多的提升日销售量，则销售单价应定为多少元？

23．（10分）在研究反比例函数y＝﹣的图象时，我们发现有如下性质： （1）y＝﹣的图象是中心对称图形，对称中心是原点．

（2）y＝﹣的图象是轴对称图形，对称轴是直线y＝x，y＝﹣x． （3）在x＜0与x＞0两个范围内，y随x增大而增大； 类似地，我们研究形如：y＝﹣（1）函数y＝﹣

+3的函数：

560 520 480 440 400 360 320 4 5 6 7 8 9 10 +3图象是由反比例函数y＝﹣图象向 平移 个单位，

再向 平移 个单位得到的． （2）y＝﹣

+3的图象是中心对称图形，对称中心是 ．

（3）该函数图象是轴对称图形吗？如果是，请求出它的对称轴，如果不是，请说明理由． （4）对于函数y＝

，x在哪些范围内，y随x的增大而增大？

24．（12分）如图，在?ABCD中，O是对角线AC的中点，AB⊥AC，BC＝4cm，∠B＝60°，动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿折线BC﹣CD向终点D运动，连结PO并延长交折线DA﹣AB于点Q，设点P的运动时间为t（s）． （1）当PQ与?ABCD的边垂直时，求PQ的长；

（2）当t取何值时，以A，P，C，Q四点组成的四边形是矩形，并说明理由；

第5页（共25页）

（3）当t取何值时，CQ所在直线恰好将?ABCD的面积分成1：3的两部分．

第6页（共25页）

2017-2018学年浙江省杭州市上城区八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（本题有10小题每小题3分，共30分） 1．（3分）在下列式子中，x可以取1和2的是（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】根据分式的与二次根式有意义的条件即可求出答案． 【解答】解：（A）x﹣1≠0，所以x≠1，故A不可以取1 （B）x﹣1≥0，所以x≥1，故B可以取1和2 （C）x﹣2≥0，所以x≥2，故C不可以取1 （D）x﹣2≠0，所以x≠2，故D不可以取2 故选：B．

【点评】本题考查二次根式以及分式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式以及分式有意义的条件，本题属于基础题型．

2．（3分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（﹣2，6），则k的值是（ ） A．﹣3

B．3

C．12

D．﹣12

【分析】根据反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（﹣2，6），从而可以求得k的值．

【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（﹣2，6）， ∴

，得k＝﹣12，

故选：D．

【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．

3．（3分）若关于x的方程x+5x+a＝0有一个根为﹣2，则a的值是（ ） A．6

B．﹣6

C．14

D．﹣14

2

【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝﹣2代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可．

【解答】解：把x＝﹣2代入方程x+5x+a＝0得4﹣5×2+a＝0， 解得a＝6．

第7页（共25页）

2

故选：A．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

4．（3分）如图，若要使?ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）

A．AB＝BC

B．∠ABD＝∠DBC

C．AO＝BO

D．AC⊥BD

【分析】根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可．

【解答】解：A、根据AB＝BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；

B、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABD＝∠DBC，得出四边形ABCD是菱形，不是矩形；故本选项错误；

C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AO＝BO，

∴OA＝OC＝OB＝OD， 即AC＝BD，

∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，

∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误； 故选：C．

【点评】本题考查了对矩形的判定定理的应用，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．

5．（3分）某校八年级（1）班全体学生进行了第一次体育中考模拟测试，成绩统计如下表：

成绩（分） 人数（人）

24 6 25 5 26 5 27 8 28 7 29 7 30 4 第8页（共25页）

根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ） A．该班一共有42名同学

B．该班学生这次考试成绩的众数是8 C．该班学生这次考试成绩的平均数是27 D．该班学生这次考试成绩的中位数是27分 【分析】根据众数、中位数、平均数的定义解答． 【解答】解：该班共有6+5+5+8+7+7+4＝42（人）， 成绩27分的有8人，人数最多，众数为27； 该班学生这次考试成绩的平均数是＝×4）＝27，

该班学生这次考试成绩的中位数是第21名和第22名成绩的平均数为27分，错误的为B， 故选：B．

【点评】本题考查了众数、中位数、平均数的定义，熟悉定义并能分析表格是解题的关键．

6．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x﹣a与y＝（a≠0）的图象可能是（ ）

（24×6+25×5+26×5+27×8+28×7+29×7+30

A． B．

C． D．

【分析】根据一次函数的图象，可得a的值，根据a的值，可得反比例函数的图象． 【解答】解：A、由一次函数的图象，得k＜0，与k＝2矛盾，故A不符合题意； B、由一次函数的图象，得k＜0，与k＝2矛盾，故B不符合题意；

C、由一次函数的图象，得a＜0，当a＜0时反比例函数的图象位于二四象限，故C不符合题意；

第9页（共25页）

D、由一次函数的图象，得a＞0，当a＞0时反比例函数的图象位于一三象限，故D符合题意， 故选：D．

【点评】本题考查了反比例函数图象，利用一次函数图象的位置得出a的值是解题关键，又利用了反比函数的性质．

7．（3分）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则|a﹣b|﹣

A．b

B．2a﹣b

C．﹣b

D．b﹣2a 的结果为（ ）

【分析】根据数轴得到a＜0＜b，根据绝对值的性质和二次根式的性质化简计算即可． 【解答】解：由数轴可知，a＜0＜b， 则a﹣b＜0， 则|a﹣b|﹣故选：A．

【点评】本题考查的是二次根式的化简、数轴的概念，掌握二次根式的性质是解题的关键．

8．（3分）某学校拟建一间矩形活动室，一面靠墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，建成后的活动室面积为75m，求矩形活动室的长和宽，若设矩形宽为x，根据题意可列方程为（ ）

2

＝﹣a+b+a＝b．

A．x（27﹣3x）＝75 C．x（30﹣3x）＝75

B．x（3x﹣27）＝75 D．x（3x﹣30）＝75

【分析】设矩形宽为xm，根据可建墙体总长可得出矩形的长为（30﹣3x）m，再根据矩形的面积公式，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设矩形宽为xm，则矩形的长为（30﹣3x）m， 根据题意得：x（30﹣3x）＝75． 故选：C．

第10页（共25页）

【点评】本题考查了由时间问题抽象出一元二次方程，根据矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程是解题的关键．

9．（3分）如图，将?ABCD沿对角线AC进行折叠，折叠后点D落在点F处，AF交BC于点E，有下列结论：①△ABF≌△CFB；②AE＝CE；③BF∥AC；④BE＝CE，其中正确结论的个数是（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

【分析】根据SSS即可判定△ABF≌△CFB，根据全等三角形的性质以及等式性质，即可得到EC＝EA，根据∠EBF＝∠EFB＝∠EAC＝∠ECA，即可得出BF∥AC．根据E不一定是BC的中点，可得BE＝CE不一定成立． 【解答】解：由折叠可得，AD＝AF，DC＝FC， 又∵平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD， ∴AF＝BC，AB＝CF， 在△ABF和△CFB中，

，

∴△ABF≌△CFB（SSS），故①正确； ∴∠EBF＝∠EFB， ∴BE＝FE，

∴BC﹣BE＝FA﹣FE，即EC＝EA，故②正确； ∴∠EAC＝∠ECA， 又∵∠AEC＝∠BEF，

∴∠EBF＝∠EFB＝∠EAC＝∠ECA， ∴BF∥AC，故③正确； ∵E不一定是BC的中点，

∴BE＝CE不一定成立，故④错误；

第11页（共25页）

故选：C．

【点评】本题主要考查了折叠问题，全等三角形的判定与性质以及平行线的判定的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

10．（3分）如图在4×5的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，定义：以网格中小正方形顶点为顶点的正方形叫作格点正方形，图中包含“△”的格点正方形有（ ）个．

A．11

B．15

C．16

D．17

【分析】分七种情况讨论，可求解．

【解答】解：图中包含“△”的格点正方形为： 边长为1的正方形有：1个， 边长为2的正方形有：4个， 边长为3的正方形有：4个， 边长为

的正方形有：2个，

边长为4的正方形有：2个 边长为2边长为

的正方形有：1个 的正方形有：2个

所以图中包含“△”的格点正方形的个数为：1+4+4+2+2+1+2＝16． 故选：C．

【点评】此题考查了正方形的判定，图形的变化，结合图形正确进行分类讨论是解题的

第12页（共25页）

关键．

二.填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是 五 边形． 【分析】利用n边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，结合方程即可求出答案． 【解答】解：根据多边形的内角和可得：（n﹣2）180°＝540°， 解得：n＝5．

则这个多边形是五边形． 故答案为：五．

【点评】此题考查多边形的内角和问题，关键是根据n边形的内角和公式（n﹣2）?180°． 12．（4分）要用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，首先应假设 两个锐角都大于45° ．

【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答． 【解答】解：“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时应第一步先假设所求证的结论不成立，即为：两个锐角都大于45°． 故答案是：两个锐角都大于45°．

【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 13．（4分）若

﹣1的整数部分是a，小数部分是b，则代数式a+2b的值是 1+2的范围，然后求得a、b的值，最后代入计算即可．

2

．

【分析】先估算出

【解答】解：∵16＜23＜25， ∴4＜∴3＜

＜5， ﹣1＜4．

﹣4． ﹣4）＝9+2．

﹣1的大致范围是解题的关键．

﹣8＝1+2

．

∴a＝3，b＝∴原式＝3+2（故答案为：1+2

2

【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，估算出

22

14．（4分）已知关于x的方程mx+2（m﹣1）x+1＝0有实数根，则满足条件的最大整数解m是 0 ．

第13页（共25页）

【分析】分m＝0即m≠0两种情况考虑，当m＝0时可求出方程的解，从而得出m＝0符合题意；当m≠0时，由方程有实数根，利用根的判别式即可得出△＝﹣8m+4≥0，解之即可得出m的取值范围．综上即可得出m的取值范围，取其内最大的整数即可． 【解答】解：当m＝0时，原方程为2x+1＝0， 解得：x＝﹣， ∴m＝0符合题意；

当m≠0时，∵关于x的方程mx+2（m﹣1）x+1＝0有实数根， ∴△＝[2（m﹣1）]﹣4m＝﹣8m+4≥0， 解得：m≤且m≠0． 综上所述：m≤． 故答案为：0．

【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，分m＝0即m≠0两种情况考虑是解题的关键．

15．（4分）如图，在?ABCD中，分别设P，Q，E，F为边AB，BC，AD，CD的中点，设T为线段EF的三等分点，则△PQT与?ABCD的面积之比是 1：4 ．

2

2

22

【分析】如图，连接AC、PE、QF．设平行四边形ABCD的面积为8S．只要证明四边形EFQP是平行四边形，求出平行四边形WFQP的面积，再求出△TPQ的面积即可解决问题．

【解答】解：如图，连接AC、PE、QF．设平行四边形ABCD的面积为8S．

∵DE＝AE，DF＝FC， ∴EF∥AC，EF：AC＝1：2，

第14页（共25页）

∴S△DEF＝S△DAC＝×4S＝S，

同理可证PQ∥AC，PQ：AC＝1：2，S△CFQ＝S△PQB＝S△APE＝S， ∴四边形EFQP是平行四边形， ∴S平行四边形EFQP＝4S，

∴S△TPQ＝S平行四边形EFQP＝2S，

∴S△TPQ：S平行四边形ABCD＝2S：8S＝1：4， 故答案为1：4．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．

16．（4分）如图，已知点A（1，a）与点B（b，1）在反比例函数y＝（x＞0）图象上，点P（m，0）是x轴上的任意一点，若△PAB的面积为2，此时m的值是 ﹣1或7 ．

【分析】把点A（1，a）、点B（b，1）代入反比例函数解析式，就可求出点A、B的坐标，延长AB交x轴于点C，如图2，运用待定系数法可求出直线AB的解析式，从而可求出点C的坐标，运用割补法可求出PC的值，结合点C的坐标就可求出m的值． 【解答】解：∵点A（1，a）与点B（b，1）在反比例函数y＝（x＞0）图象上， ∴a＝2，b＝2，

∴点A（1，2）与点B（2，1）， 延长AB交x轴于点C，如图2， 设直线AB的解析式为y＝mx+n， 则有解得

， ，

第15页（共25页）

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3． ∵点C是直线y＝﹣x+3与x轴的交点， ∴点C的坐标为（3，0），OC＝3，

∵S△PAB＝2，

∴S△PAB＝S△PAC﹣S△PBC＝×PC×2﹣×PC×1＝PC＝2， ∴PC＝4．

∵C（3，0），P（m，0）， ∴|m﹣3|＝4， ∴m＝﹣1或7， 故答案为：﹣1或7．

【点评】本题主要考查了运用待定系数法求直线及反比例函数的解析式、运用割补法求三角形的面积等知识，运用割补法是解决本题的关键，需要注意的是线段的长度确定，点的坐标未必确定．

三.解答题（本题有8小题共66分） 17．（6分）（1）计算：﹣

+

×

（2）解方程：3x（x+4）＝2（x+4）

【分析】（1）先化简二次根式、二次根式的乘法运算，然后计算加减法； （2）先移项，再提取公因式即可得出x的值． 【解答】解：（1）原式＝﹣

（2）由原方程，得 （3x﹣2）（x+4）＝0， 所以3x﹣2＝0或x+4＝0，

+2

＝

；

第16页（共25页）

解得x1＝，x2＝﹣4．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，二次根式的混合运算．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 18．（6分）已知正比例函数y1＝mx的图象与反比例函数y2＝图象有一个交点的横坐标是2． （1）求m的值；

（2）写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围．

【分析】（1）把交点的横坐标代入函数解析式，列出一元一次方程，解方程即可； （2）根据题意列出二元一次方程组，解方程组得出两个交点坐标，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵正比例函数y1＝mx的图象与反比例函数y2＝m≠0）的图象有一个交点的横坐标是2， ∴y1＝2m，y2＝∵y1＝y2， ∴2m＝

，

，

（m为常数，且

（m为常数，m≠0）的

解得，m＝2；

（2）由（1）得：正比例函数为y1＝2x，反比例函数为y2＝；

解方程组得：或，

∴这两个函数图象的交点坐标为（2，4）和（﹣2，﹣4）， 当y1＜y2时，自变量x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜2．

【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，灵活运用待定系数法求出函数解析式、掌握正比例函数与反比例函数图象的交点的求法是解题的关键． 19．（6分）如图，已知线段a，b，∠α（如图）．

（1）以线段a，b为一组邻边作平行四边形，这样的平行四边形能作 无数 个． （2）以线段a，b为一组邻边，它们的夹角为∠α，作平行四边形，这样的平行四边形能作 1 个，作出满足条件的平行四边形（要求仅用直尺和圆规，保留作图痕迹，不写做

第17页（共25页）

法）

【分析】（1）内角不固定，有无数个以线段a，b为一组邻边的平行四边形；

（2）作∠MAN＝α，以A为圆心，线段a和线段b为半径画弧分别交射线AN和AM于点D和B，以D为圆心，线段b为半径画弧，以B为圆心，线段a为半径画弧，交于点C；连接BC，DC．则平行四边形ABCD就是所求作的图形．

【解答】解：（1）以线段a，b为一组邻边作平行四边形，这样的平行四边形能作无数个， 故答案为：无数；

（2）以线段a，b为一组邻边，它们的夹角为∠α，作平行四边形，这样的平行四边形能作1个，如图所示：四边形ABCD即为所求． 故答案为：1．

【点评】此题主要考查平行四边形的作法，是一些基本作图的综合应用．关键是掌握做一个角等于已知角的方法．

20．（8分）某公司计划从两家皮具生产能力相近的制造厂选择一家来承担外销业务，这两家厂生产的皮具款式和材料都符合要求，因此只需要检测皮具质量的克数是否稳定，现从两家提供的样品中各抽取了6件进行检查，超过标准质量部分记为正数，不足部分记为负数，若该皮具的标准质量为500克，测得它们质量如下（单位：g） 厂家 甲 超过标准质量的部分 ﹣3 0 0 1 2 0 第18页（共25页）

乙 ﹣2 1 ﹣1 0 1 1 （1）分别计算甲、乙两厂抽样检测的皮具总质量各是多少克？ （2）通过计算，你认为哪一家生产皮具的质量比较稳定？

【分析】（1）求出记录的质量的和，再加上标准质量，计算即可得解；

（2）以标准质量为基准，根据方差的定义计算两公司的方差，方差小的质量比较稳定． 【解答】解：（1）甲厂抽样检测的皮具总质量为500×6+（﹣3+0+0+1+2+0）＝3000（克）， 乙厂抽样检测的皮具总质量为500×6+（﹣2+1﹣1+0+1+1）＝3000（克）； （2）∵∴∵∴∵

＝×（﹣3+0+0+1+2+0）＝0，

2

2

2

2

＝×[（﹣3﹣0）+（0﹣0）×3+（1﹣0）+（2﹣0）]≈2.33， ＝×（﹣2+1﹣1+0+1+1）＝0，

＝×[（﹣2﹣0）+3×（1﹣0）+（﹣1﹣0）+（0﹣0）]≈1.33， ＜

，

2

2

2

2

∴乙公司生产皮具的质量比较稳定．

【点评】本题主要考查方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．

21．（8分）如图，在?ABCD中，CE平分∠BCD，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，CE与DF交于点P，连接EF，BP． （1）求证：四边形CDEF是菱形；

（2）若AB＝2，BC＝3，∠A＝120°，求BP的值．

【分析】（1）利用平行四边形的性质和角平分线的定义可求得CF＝CD＝DE，可证得结论；

（2）过P作PG⊥BC于G，在Rt△PGC中可求得PG和CG的长，则可求得BG的长，在Rt△BPG中，由勾股定理可求得BP的长．

第19页（共25页）

【解答】（1）证明：

∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EDF＝∠DFC， ∵DF平分∠ADC， ∴∠EDF＝∠CDF， ∴∠DFC＝∠CDF， ∴CD＝CF， 同理可得CD＝DE， ∴CF＝DE，且CF∥DE， ∴四边形CDEF为菱形； （2）解：

如图，过P作PG⊥BC于G，

∵AB＝2，BC＝3，∠A＝120°，且四边形CDEF为菱形， ∴CF＝EF＝CD＝AB＝2，∠ECF＝∠BCD＝∠A＝60°， ∴△CEF为等边三角形， ∴CE＝CF＝2， ∴PC＝CE＝1， ∴CG＝PC＝，PG＝

PC＝

，

∴BG＝BC﹣CG＝3﹣＝， 在Rt△BPG中，由勾股定理可得BP＝即BP的值为

．

＝

＝

，

【点评】本题主要考查平行四边形的性质及菱形的判定和性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键，在求BP的值时注意构造直角三角形．

22．（10分）某G20商品专卖店每天的固定成本为400元，其销售的G20纪念徽章每个进

第20页（共25页）

价为3元，销售单价与日平均销售的关系如下表： 销售单价（元） 日平均销售量（瓶） （1）设销售单价比每个进价多x元，用含x的代数式表示日销售量．

（2）若要使日均毛利润达到1840元（毛利润＝总售价﹣总进价﹣固定成本），且尽可能多的提升日销售量，则销售单价应定为多少元？

【分析】（1）由表得出销售单价每增加1元时，其销售量减少40件，据此知其销售量为560﹣40（x+3﹣4）＝﹣40x+600；

（2）根据“毛利润＝总售价﹣总进价﹣固定成本”列出方程，解之求得x的值，再根据尽可能多的提升日销售量确定销售单价．

【解答】解：（1）由表格可知，销售单价每增加1元时，其销售量减少40件， 根据题意知，其销售量为560﹣40（x+3﹣4）＝﹣40x+600；

（2）根据题意，得：（﹣40x+600）x﹣400＝1840， 整理，得：x﹣15x+56＝0， 解得：x1＝7，x2＝8，

因为要尽可能多的提升日销售量， 所以x＝7，此时销售单价为10元， 答：销售单价应定为10元．

【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是得出表格中销量随售价间的变化规律，并根据相等关系列出方程．

23．（10分）在研究反比例函数y＝﹣的图象时，我们发现有如下性质： （1）y＝﹣的图象是中心对称图形，对称中心是原点．

（2）y＝﹣的图象是轴对称图形，对称轴是直线y＝x，y＝﹣x． （3）在x＜0与x＞0两个范围内，y随x增大而增大； 类似地，我们研究形如：y＝﹣

+3的函数：

第21页（共25页）

2

4 5 6 7 8 9 10 560 520 480 440 400 360 320

（1）函数y＝﹣+3图象是由反比例函数y＝﹣图象向 右 平移 2 个单位，再

向 上 平移 3 个单位得到的． （2）y＝﹣

+3的图象是中心对称图形，对称中心是 （2，3） ．

（3）该函数图象是轴对称图形吗？如果是，请求出它的对称轴，如果不是，请说明理由． （4）对于函数y＝

，x在哪些范围内，y随x的增大而增大？

【分析】（1）根据图象平移法则﹣﹣左加右减，上加下减即可解答； （2）根据平移方法，y＝﹣的对称中心原点平移后所得的点就是对称中心；

（3）图象平移后的对称轴与原来的直线y＝x，y＝﹣x平行，且经过对称中心，利用待定系数法即可求解； （4）把函数y＝

变形为

（a≠0，k＞0，h＞0）的形式，找出其对称中

心，类比反比例函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）函数y＝﹣

+3图象是由反比例函数y＝﹣图象向右平移 2个单

位，再向上平移3个单位得到的． 故答案为：右 2 上 3． （2）y＝﹣

+3的图象是中心对称图形，对称中心是（2，3）．

故答案为：（2，3）．

（3）该函数图象是轴对称图形．

∵y＝﹣的图象是轴对称图形，对称轴是直线y＝x，y＝﹣x． 设y＝﹣∴b＝1，

∴对称轴是y＝x+1； 设y＝﹣∴c＝5．

∴对称轴是y＝﹣x+5．

故答案为：y＝x+1和y＝﹣x+5． （4）对于函数y＝

，变形得：

第22页（共25页）

+3对称轴是y＝x+b，把（2，3）代入得：3＝2+b，

+3对称轴是y＝﹣x+c，把（2，3）代入得：3＝﹣2+c，

y＝＝＝﹣）．

﹣，

则其对称中心是（2，

则当x＜2或x＞2时y随x的增大而增大． 故答案为：x＜2或x＞2

【点评】本题考查反比例函数平移的规律与方法，以及如何求其对称轴和对称中心，并类比反比例函数探究其函数增减变化的性质．难度较大．

24．（12分）如图，在?ABCD中，O是对角线AC的中点，AB⊥AC，BC＝4cm，∠B＝60°，动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿折线BC﹣CD向终点D运动，连结PO并延长交折线DA﹣AB于点Q，设点P的运动时间为t（s）． （1）当PQ与?ABCD的边垂直时，求PQ的长；

（2）当t取何值时，以A，P，C，Q四点组成的四边形是矩形，并说明理由； （3）当t取何值时，CQ所在直线恰好将?ABCD的面积分成1：3的两部分．

【分析】（1）分当PQ⊥BC和当PQ⊥CD两种情况，利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论；

（2）当点P在BC边和当点P在CD上两种情况，利用矩形的性质即可得出结论； （3）利用平行四边形的性质得出S△ABC＝S△ACD＝S?ABCD，进而分当点Q在边AD上和点Q在边AB上利用三角形的中线的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）当PQ⊥BC时，如图1， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°，

在Rt△ABC中，BC＝4cm，∠B＝60°， ∴∠ACB＝30°，AB＝2，AC＝2∵点O是AC的中点， ∴OC＝AC＝

，

第23页（共25页）

，

在Rt△OPC中，OP＝OC＝易知，△AOQ≌△COP， ∴OQ＝OP， ∴PQ＝2OP＝

cm，

，

当PQ⊥CD时，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，

∴∠ACD＝∠BAC＝90°，

∴点P与点C重合，点Q和点A重合， ∴PQ＝AC＝2

cm，

cm或2

cm．

综上所述，当PQ与?ABCD的边垂直时，PQ＝

（2）当点P在BC边时，如图2， ∵四边形APCQ是矩形， ∴∠APC＝90°，

在Rt△ABP中，∠B＝60°，AB＝2cm，∴BP＝1cm，

∵动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿折线BC﹣CD向终点D运动， ∴t＝1÷2＝秒，

当点P在CD上时，∵四边形AQCP是矩形， ∴∠AQC＝90°，

∵∠BAC＝90°，由过点C垂直于AB的直线有且只有一条，得出此种情况不存在， 即：当t＝秒时，以点A，P，C，Q为顶点的四边形知矩形；

（3）∵AC是平行四边形ABCD的对角线， ∴S△ABC＝S△ACD＝S?ABCD，

∵CQ所在直线恰好将?ABCD的面积分成1：3的两部分， ∴当点Q在边AD上时， ∴点Q是AD的中点， ∴AQ＝AD，

第24页（共25页）

易知，△AOQ≌△COP， ∴CP＝AQ＝AD＝BC＝2， ∴BP＝2， ∴t＝2÷2＝1秒，

当点Q在边AB上时，同理：点P是CD的中点， ∴t＝（4+1）÷2＝秒，

即：t为1秒或秒时，CQ将平行四边形ABCD的面积分成1：3两部分．

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，解本题的关键是分类讨论的思想解决问题，是一道中等难度的中考常考题．

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